Неочакваната красота на простите числа

Оригиналът е на Jesus Najera

6
2409

Значимостта на простите числа във всички области на математиката, както и в ежедневния живот е толкова огромна, че е невъзможно да бъде оценена. Ние спокойно използваме техните свойства и ги използваме като фундамент на безчисления брой елементи на нашето общество, понеже са неделима част от тъканта на цялата природа. Простите числа, които не могат да бъдат разделени на множители често се наричат „атоми“ в света на математиката. За тях Карл Сейгън казва следното:

„Много е важен статутът на простите числа като фундаментални строителни елементи на всички числа, които от своя страна са строителните компоненти на нашето разбиране на Вселената“.

В природата и в нашия живот простите числа се използват навсякъде: те са в основата на жизнените цикли на цикадите, производителите на часовници ги използват за определяне на точността, а в авиационните двигатели се използват за балансиране честотата на въздушните импулси. Но всичко това бледнее пред един безспорен факт, който е добре известен на всеки криптограф: простите числа изграждат сърцето на съвременната информационна безопасност и носят директна отговорност за защитата на всичко. Виждате ли иконката на малкото заключено катинарче в адресния ред на браузъра? Това означава, че се използва „ръкостискане“ (handshake) с два ключа, генерирани чрез прости числа. Подобен подход се използва и при пазаруването с банкова карта – използва се криптография, базирана на простите числа.

Но въпреки, че непрекъснато разчитаме на техните уникални свойства, простите числа за нас си остават неуловими и никой не може да каже или предскаже цялата поредица прости числа. През цялата история на математиката най-великите умове на планетата са се опитвали да докажат теоремата за предсказване на простите числа или поне, колко далече едно от друго би трябвало са разположени. Всъщност, има някои нерешени задачи и проекти, като например задачата за числата-близнаци, хипотезата на Голдбах, простите числа палиндроми и хипотезата на Риман, които са директно свързани с тази непредсказуемост на простите числа и невъзможността за тяхното определяне. Разбира се, още от времената на Евклид са известни алгоритми, които дават възможност за подобно предсказване, но само на някои прости числа, като общите теореми все още не са доказани.

При предишните опити е нямало инструменти за проверка на получените прости числа, но технологиите на 21 век дават възможност на учените да проверяват своите предположения на огромни поредици от много големи прости числа. Но този метод предизвиква много спорове, понеже проверката с изпробването на всички възможни варианти чрез метода на грубата сила не се счита за надеждно доказателство. С други думи простите числа не се подчиняват на нито една универсална формула или уравнение, а тяхното разполагане в природата изглежда случайно.

Но последно време започна да се появява информация, че те не са чак толкова случайни…

От случайните драсканици към първото разкритие – спиралата на Улам

Едно от най-интересните доказателства, че простите числа не са случайни попадения, се появява по най-неочакван начин от случайните драсканици по време на скучна лекция.

Историята на този случай е известна: полският математик Станискав Улам се натъкнал на този визуален модел по време на семинар през 1963 година. Уламовите записи представляват нормална правоъгълна решетка от числа, започвайки от центъра с 1, като простите числа заграждал с кръгче. За негово учудване, отбелязаните по този начин прости числа образували прави линии по диагоналите. Малко по-късно Улам казва, че тяхната поява в тази спирала съвсем не е случайна. Спиралата на простите числа на Улам е полученото графично изображение на разположените в квадратна спирала множество прости числа. Първоначалната версия на спиралата на простите числа е публикувана в Scientific American и веднага става много известна.

Уламова решетка с размер 377х377 (около 142 000 прости числа)

Но днес вече разполагаме с мощни компютри и можем да разглеждаме и изследваме много големи квадратни спирали от подобен тип. В показната по-горе визуализация много добре се виждат визуални модели, които явно показват някакви закономерности, особено по диагоналите. Но може би така ни се струва? Има немалко мнения, че спиралата на Улам е просто трик на нашия мозък, който се опитва да намери закономерности в случайното?

Има два начина да се убедим, че това не е никакъв трик. Както визуалното сравнение, така и логическия анализ показват, че образувалите се шаблони съвсем не са случайни. Първо, съвсем лесно е да сравним спиралата на Улам, поместена в матрица с размери NxN с матрица със същия размер, в която числата са отбелязани на случаен принцип, независимо дали това са прости числа или обикновени. Второ, можем да използваме математическите познания за многочлените, за да разберем, защо наистина трябва да очакваме появата на някакъв шаблон при подобно графично представяне на простите числа.

Както вече казахме, най-интуитивно разбираемо е, че има някаква закономерност в простите числа, е директното сравнение на спиралата на Улам с матрица със същите размери, но в която числата са отбелязани на случаен принцип. По-долу са показани двете различни матрици – числови спирали с размер 200х200:

При визуално сравняване е съвсем очевидно, че спиралата на Улам включва потресаващи шаблони, особено около осите по диагоналите. И още, в тази квадратна спирала почти няма натрупване на точки (които всъщност са прости числа) на едно място.

От друга страна, случайно разположените точки при втората спирала не създават каквито и да било модели или шаблони и има натрупвания на известен брой точки, разположени равномерно в матрицата. Несъмнено, на този метод му липсва строгостта на традиционните доказателства, но в самия вид на спиралата на простите числа има нещо безупречно. Това е една случайно открита методика даваща възможност за създаването на интересна графика, която стимулира логиката и е някак естетично привлекателна.

Тези линии в хоризонтални и вертикални направления изглежда подсказват нещо. И наистина, някои квадратни полиноми, които по-късно бяха наречени формули на простите числа, генерират прости числа с висока плътност. Така например, полиномът на Ойлер за генериране на прости числа:

x² + x + 41

Това е просто още една линия, която се вижда като шаблон в спиралата на Улам.

Визуалното сравнение на тези две матрици показва за наличието на някакви шаблони, на някакви модели и закономерности, а логическият анализ потвърждава съществуването на тези модели. Но сме още много далече от откриването на някаква универсална формула, с която да бъдат генерирани всички прости числа. Но спиралата на простите числа на Улам е без съмнения прекрасна – и като символ на нашето познание, и като шедьовър на природното изкуство.

Спиралата на Сакс

Както и в много други области на математиката, след появата на оригиналната идея, армията от математици започна да прави опити също да допринесе с нещо за развитието на тази нова тема. Съвсем логично, спиралата на Улам вдъхнови поколения математици. които се опитаха да доразвият това потресаващо откритие. И така, през 1994 година софтуерният специалист Робърт Сакс реши да използва своите програмистки умения за визуализация на простите числа по най-различни начини.

Почти като при спиралата на Улам, Сакс решава да визуализира простите числа, само че с помощта на друга спирална плоскост. Аналогично на показаната по-горе квадратна спирала, при спиралните плоскости не се задават точки от традиционната декартова координатна система и те се считат за координатни системи с еднополярно позициониране. Просто като се знае дадено число, може да се разбере неговото положение в спиралата, неговата позиция относно другите числа в квадратната спирала, както и разстоянието от него до предишния и следващия перфектен квадрат. Само че вместо квадратна спирала Сакс се опитва да открие някакви модели или шаблони с помощта на целите числа, наложени върху архимедова спирала, описвана с полярните координати:

При Този подход архимедовата спирала е центрирана около нулата, а квадратите на всички естествени числа (1,4,9,16,25) са разположени на пресечните точки между спиралата и полярната ос или на запад от точката с началото на координатите.

След като тази схема е готова, започваме да запълваме точките между квадратите (точните квадрати) на числата, като самите числа нанасяме на равни разстояния едно от друго. И съвсем като в спиралата на Улам, отбелязваме простите числа в така получената фигура.

Числовата спирала на Сакс е публикувана онлайн през 2003 година и е привлекателна както визуално, така и интелектуално. Освен това, тя дава възможност да се изявят много повече закономерности при простите числа в сравнение със спиралата на Улам, понеже обединява разкъсаните линии от модела на Улам:

Получената графика отново показва много добре открояващи се шаблони. Почти веднага става ясно, че чистата бяла линия от центъра на графиката и продължаваща точно на запад е просто линията, обединяваща всички квадрати на целите числа. Второто най-важно нещо, което веднага се вижда, че за разлика от правите линии в спиралата на Улам, тук имаме криви линии. Оказа се, че тези криви, известни и като криви на произведенията, ни връщат към полиномите, обясняващи шаблоните, възникващи в предишната спирала на Улам. Но преди да стигнем до тях, нека да погледнем как изглежда спиралата на Сакс с отбелязани прости числа и с отбелязани по случаен начин числа:

Полиноми и криви

Научната работа на Робърт Сак е изцяло съсредоточена върху тези криви, получени чрез произведенията на числата. Всички тези криви започват в центъра на спиралата или близо до него и под различни ъгли пресичат линиите на спиралата. Интересно е да се види, че тези специфични криви линии извършват частични, пълни или многократни завъртания по часовниковата стрелка и обратно на въртенето на спиралата около точката на началото на координатите преди постепенно да се изправят с отдалечаването от оста. Един от най-поразителните аспекти на числовата спирала на Сакс е, че тези криви преобладават в западното полукълбо на на спиралата, в противоположна посока на линията на квадратите на всички числа.

Тези криви вече могат да бъдат представени с помощта на квадратно уравнение – полином от втора степен. Това няма как да е обикновено съвпадение и кривите от спиралата на Сакс са значително по-полезни в разбирането на простите числа. Спиралата на Улам показа, че наистина има някакви закономерности шаблони при простите числа, но спиралата на Сакс дава опорните точки в търсенето на нови формули, с които да се търсят и генерират нови прости числа. Техният овал и тяхната цялост са постоянни и е много по-лесно да бъдат открити. Така например, в показаната по-долу спирала на Сакс, някои от тези криви линии са оцветени и формулите, които ги описват са именно формулите за намиране на нови прости числа. Впечатляващо е, че последната крива линия в тази спирала е знаменитата формула на Ойлер за генериране на прости числа (n² + n +41):

Благодарение на тази числова спирала Сакс направи потресаващото изявление, че простото число е положително цяло, което се намира само върху някоя от тези криви с произведения на числата. Ясно е, че спиралата може да продължава безкрайно и следователно, тези криви също са безкрайни. На теория, именно тези криви могат да предскажат разположението на достатъчно голям брой прости числа и наистина заслужават повече внимание.

Като цяло, спиралата на Сакс ни подтикна към по-дълбокото изучаване и разбиране на простите числа, като предложи удобни формули за тяхното генериране.

Значението на всичко това

Накратко се спряхме се на спиралата на Улам и спиралата на Сакс. Благодарение на тези математици се разшири нашето разбиране за природата на простите числа. От друга страна, получените формули масовосе използват и поставиха основите на съвременната криптография. Но и двете графични изображения, както на Улам, така и на Сакс стимулират нашето любопитство и хвърлят светлина върху една от най-сложните за целия свят задачи.

6
ДОБАВИ КОМЕНТАР

avatar
3 Коментари
3 Отговори на коментарите
0 Последователи
 
Коментарът с най-много реакции
Най-горещият коментар
  Абонирай се  
нови стари оценка
Извести ме за
Аз ве аз
Аз ве аз

Вече не можем да пишем коментари в статията за продажби на крадени ключове? 😀

NACHO
NACHO

Тва е бъзик бре!

Той
Той

Не е много неучаквано, има десекти клипове в youtube по темата

Капиталист
Капиталист

„Учаквай“, Българин-чисто.

пипи
пипи

Ами вие не пишете коментари, само плюете че са не легитимни!

Капиталист
Капиталист

Преди „че“ се слага запетая. Пише се „нелегитимни“.