В древния Вавилон са можели да изчислят √2 с точност до шестия знак след десетичната запетая

Тази глинена плочка, направена някъде около 1800-1600 г. пр.н.е., показва, че древните вавилонци са можели да изчислят квадратен корен от две с точност до 99,9999%.

Как са го направили?

Какво всъщност показва тази глинена плочка?

Нека започнем с разшифроването на самата плочка. Тя е обозначена като YBC 7289 (съкратено от „7289-ти предмет от вавилонската колекция на Йейл“). На плочката са изобразени квадрат, неговият диагонал и няколко цифри, изписани върху него. Ето нейната стилизирана версия от книгата „Епизоди от ранната история на математиката“ на Асгер Обо.

Както следва от Питагоровата теорема, дължината на диагонала на квадрата е √2. Нека разгледаме символите!

На плочката има числа, изписани с вавилонски клинописни цифри. Те означават 1, 24, 51 и 10.

Тъй като вавилонците са използвали бройна система с основа 60 (наричана още шестдесетична), десетичното число 1,24 51 10 означава 1,41421296296.

Това е равно на √2 с точност до шестия знак след десетичната запетая, което е 99,9999%!

Точността на изчисленията е невероятна. Опитайте се да го направите без калкулатор, на хартия, и ще разберете, че това не е толкова лесно!

А ние ще ви обясним как са го направили.

Вавилонският алгоритъм за изчисляването на корен квадратен

Сега ще изиграя ролята на фокусник: първо ще покажа алгоритъма, а след това ще дръпна завесата и ще го обясня.

Започваме, като изберем произволно число x₀ между 1 и √2. Знам, че изглежда случайно, но нека не бързаме. Така например, такова число може да бъде 1,както и 2, което ще бъде нашата първа апроксимация.

Въз основа на това може да се каже, че 2/x₀ е по-голямо от √2.

Следователно интервалът  [x₀, 2/x₀] включва в себе си √2.

А от това следва, че средната точка на интервала  [x₀, 2/x₀] е по-точна апроксимация на значението √2. Както се вижда на изображението по-долу, тя е съществено по-добра.

Нека от това да изведем формулата на x₁.

Чрез обикновено развитие и мащабиране на тази идея можем да създадем една последователност от апроксимации, като всеки път вземаме средните точки на новите интервали.

Ето ги няколко от първите членове на тази последователност. Дори третият член е вече удивително добра апроксимация (приближение).

Ако изобразим тези числа на диаграма на разсейване, след няколко стъпки на практика ще ни е необходим микроскоп, за да видим разликите от √2.

Както може да се види, сходимостта към √2 е изключително бърза.

Но колко всъщност е бърза?

Погрешността на вавилонската апроксимация

Погрешността между тази апроксимация и стойността на √2 се определя просто като разстоянието между тях, измерено чрез абсолютната стойност на разликата им. Например грешката на първото ни предположение e₀ се определя по следния начин:

Колкото и малко или голямо да е e₀, можем да го използваме, за да оценим последващите погрешности.

Нека се заемем с малко елементарна алгебра и да видим как e₀ се отнася към e₁! В началото нека да представим e₁ като дроб.

Тъй като сме избрали x₀ по-голямо от единица, можем да го изразим по отношение на e₁. Тъй като числителят на e₀ е на квадрат, задачата ни е не е сложна.

Повтаряйки тези разсъждения и действия ще видим, че сходимостта е много бърза – по-бърза дори и от експоненциалната!

Дали вавилонците са имали късмет, или са уцелили в десетката?

Всъщност второто. Време е да вдигнем завесата!

Методът на Нютон-Рафсън

Нека да перифразираме задачата за апроксимацията на квадратен корен от две. Вместо да пресмятаме функцията f(x) = √x в дадена точка, нека се опитаме да намерим (положителния) корен от f(x) = x² – 2. (Който, както се оказва, също е √2.)

Съществува ли обобщен метод за решаване на подобна задача? Да, това е методът на Нютон-Рафсън. За да покажем как работи той, нека приблизително определим корена на f(x).

Как можем да се придвижим от началното предположение за x₀ до корена?

Например можем да следваме посоката на допирателната и да видим къде тя пресича оста Х. Тъй като ъгълът на тангентата (допирателната) се определя от производната, това пресичане може да се изчисли веднага. Ще ви покажа как да направите това.

Уравнението на допирателната е зададено по следния начин

Като го приравним към нулата и го решим, получаваме точката, в която допирателната пресича оста Х.

По този начин, като изберем следващото предположение за x₁ като тази точка на пресичане, получаваме по-точно (надяваме се) приближение.

Това е всичко! Въз основа на тази идея можем да дефинираме една рекурсивна последователност.

Това се нарича Методът на Нютон-Рафсън. Предстои следващата стъпка. Както можете да видите, още третата стъпка е почти √2.

Остава един важен въпрос: наистина ли вавилонците са използвали именно този метод? Да, и ето защо.

Методът на Нютон-Рафсън и вавилонския алгоритъм

В предишния пример решихме да намерим корена на f(x) = x² – 2. Нека да намерим явната формула за рекурсивната последователност, получена по метода на Нютон-Рафсън. Производната ѝ е лесна за пресмятане, така че сме готови.

Като приложим малко алгебра, можем да стигнем до не особено изненадващо заключение.

Следователно вавилонският алгоритъм е частен случай на метода на Нютон-Рафсън!

Помним, че сходимостта в този конкретен случай е изключително бърза. Дали това е вярно в общия случай? Ако имаме късмет.

Скорост на сходимост

Без да навлизаме в подробности, сходимостта и нейната скорост зависят от локалното поведение на функцията.

Така например, ако f(x) е два пъти диференцируема, членът на грешката за n-тия елемент може да се опише от членовете на производната и квадрата на (n-1)-та погрешност.

Ако ви интересуват подробностите, то доказателството подробно е разгледано в Уикипедия.

По-специално, ако производните се „държат добре“ (т.е. първата производна е отдалечена от нулата, а втората производна е ограничена), тогава скоростта на сходимост е квадратична.

Квадратичната сходимост е вярна не само за намирането на квадратен корен от двойката чрез апроксимиране на положителния корен от f(x) = x² – 2, но и за широк кръг от други функции.

Недостатъците

За съжаление, не всичко е перфектно. Методът на Нютон-Рафсън може да доведе до сериозни грешки в доста често срещани случаи, а също така има и много недостатъци.

Така например, ако функцията в съседство с корена е „плоска“, сходимостта ще бъде мъчително бавна. Един такъв случай е показан по-долу.

Това се случва, когато коренът има голяма увеличена нееднозначност, което означава, че производните също са равни на нула. Като говорим за производни, за разлика от случая с вавилонския квадратен корен, те могат да бъдат трудни за изчисляване, поради което в тези случаи този метод е неприложим.

Освен това целият процес е силно зависим от първоначалното предположение: една итерация може да доведе до погрешен корен и дори да се размине с истината.

Изводи

Това, че древните вавилонци са могли да изчислят √2 до шестия знак след десетичната запетая, е доста учудващо. Тази точност буди голямо уважение, особено като се има предвид, че е постигната преди почти четири хиляди години и изчисленията са правени на ръка.

Оказва се, че те не просто са имали късмет, а са открили частен случай на мощен метод, способен да апроксимира корена на широк спектър от функции. Днес той е известен като метода на Нютон-Рафсън.

Принципът не е сложен:

• Приема се първоначалната стойност на x₀
• Временно се заменя функцията с допирателната в x₀
• Определете къде допирателната пресича оста X
• Използва се пресечната точка x₁ като нова начална точка на процеса

Ако функцията се държи достатъчно добре (т.е. производната ѝ е локално отделена от нулата, а втората производна е ограничена), сходимостта е изключително бърза: ето защо вавилонците са успели да постигнат „най-високата изчислителна точност в древния свят“.