Ето защо E = mc² е само половината от информацията за случващото се

Едно от най-значимите открития в областта на физиката е известното уравнение на Айнщайн: E = mc². Най-просто казано, то гласи, че енергията е равна на масата на даден обект, умножена по квадрата на скоростта на светлината. Тази на пръв поглед проста математическа зависимост съдържа огромен брой физични значения, включително:

• При определено количество енергия могат спонтанно да се създават нови двойки частици материя-антиматерия, ако масата им в покой е по-малка от количеството енергия, необходимо за създаването им,
• Ако една двойка частици материя-антиматерия анихилира, се освобождава известно количество енергия, което се определя от масите на анихилираната двойка частици,
• При всяка ядрена реакция, независимо дали става дума за синтез или делене, ако масата на продуктите на реакцията е по-малка от масата на участващите частици, E = mc² ни казва колко енергия ще се освободи при тази реакция.

Това уравнение, E = mc², описва колко енергия е присъща на всяка масивна частица в покой, включително колко енергия е необходима за нейното създаване и колко енергия се освобождава при разрушаването ѝ.

Но какво става, ако частицата не е в покой или ако няма никаква маса? В тези случаи E = mc² е само половината от смисъла на уравнението. Другата половина е много по-интересна и е необходима, за да се разбере физическият смисъл на случващото се.

Причината, поради която „масата на покой“ е толкова важно понятие, е, че движението – скоростта на промяна на положението на даден обект с течение на времето – не е „абсолютно“ физическо свойство в нашата Вселена. По-скоро основният урок от теорията на относителността на Айнщайн е, че независимо от това какво е положението ви и как се променя то с течение на времето, законите на физиката и природните константи, включително скоростта на светлината, винаги ще изглеждат по един и същ начин.

Така например, ако разполагате с часовник, в който „една секунда“ се определя от времето, което е необходимо на светлината, движеща се със скоростта на светлината, да измине следното:

• изминава пътя от долната част на часовника до горната му част,
• отразява се в огледалото в горната част на часовника,
• връща се обратно надолу,

то тогава двама наблюдатели, които се намират в относително движение един спрямо друг, ще възприемат протичането на времето по различен начин. От гледната точка на единия наблюдател той е този, който е в покой, и неговото определение за „секунда“ е правилно: светлината извършва периодично движение от долната до горната част на условния часовник, което е това, което определя нейното преминаване през времето. За всеки, който се движи спрямо него, това допълнително движение ще означава, че външният, движещ се часовник изглежда, че върви по-бавно.

Това е така, защото движението в пространството и времето са свързани и неразделни: те са вплетени в единна тъкан, наречена пространство-време. Максималното „движение във времето“, което можете да осъществите, ще се случи, когато сте в покой спрямо Вселената, или когато движението ви в пространството е нула. Ако обаче се движите в пространството, движението ви във времето се забавя, така че колкото по-близо сте до скоростта на светлината, толкова по-малко остарявате и усещате хода на времето. Този факт има огромен брой приложения – от системите за глобално позициониране (GPS) до физиката на високоенергийните частици.

Но тук трябва да обърнем внимание на друга част от формулата на Айнщайн E = mc²: когато сте в движение, вашата енергия не се определя само от енергията на масата ви в покой, която е приносът на mc² към вашата енергия. Вместо това вие имате и кинетична енергия – енергията на самото движение.

Когато два обекта се сблъскат, независимо дали се залепват един за друг (нееластично), или се отблъскват един от друг (еластично), именно кинетичната енергия, която притежават, въз основа на движението им един спрямо друг, определя колко бързо ще се движат след сблъсъка помежду си. Тази „енергия на движение“ или кинетична енергия е най-важният компонент на физиката на движещите се обекти – от билярдните топки до автомобилите и планетарните системи.

Но забележете, че най-известното уравнение на Айнщайн, E = mc², е напълно независимо от движението и не го отчита! Ако енергията е просто масата, умножена по квадрата на скоростта на светлината, как тогава се отчита движението? Откъде идва кинетичната енергия?

Може би още по-убедителен аргумент, че в тази история трябва да има нещо повече, е да разгледаме светлината – квант енергия, който няма никаква маса в покой. Светлината, независимо дали я разглеждаме като вълна, чиято енергия се определя от дължината на нейната вълна, или като частица, чиято енергия се определя като кванти, наречени фотони, няма маса в покой, така че m в E = mc² трябва да е нула. Но светлината носи енергия, така че E = mc² не може да описва напълно цялата картина, в противен случай E също би било нула, а това няма как да стане.

Разковничето за решението може да се намери, ако се досетите за физиката в училище или в колежа и където се изучава „стандартната“ формула за кинетичната енергия: Kе = ½mv², където v е скоростта на движещия се обект. Тази формула се прилага само при скорости, които са малки в сравнение със скоростта на светлината: когато v е много по-малка от c, скоростта на светлината във вакуум. (Това си е същото „c“ като във формулата E = mc²: 299,792,458 м/сек).

Причината, поради която „кинетичната енергия“ е толкова полезно указание, е, че тя ви приближава с една стъпка до наистина ключовото понятие в завършването на най-известното уравнение на Айнщайн: импулса.

Импулсът е „количеството движение“, което притежава даден обект, и той определя съвсем конкретно, независимо дали движещият се обект е масивен или няма маса, а ако е масивен, дали се движи със скорост, близка до тази на светлината. Импулсът, означаван с буквата „p“ (от латинския глагол „pellere“ (бутам със сила) или „petere“ (вървя), е по същество мярка за това колко енергия съдържа даден обект в движението си и следователно колко трудно е той да бъде приведен в покой.

За масивните частици, които се движат бавно в сравнение със скоростта на светлината, импулсът може да бъде добре апроксимиран с простата формула p = mv. За масивните частици, движещи се с каквато и да е скорост, дори със значителна част от скоростта на светлината, импулсът се записва по-точно p = mγv, където „γ“ е коефициентът на Лоренц: 1/√(1-(v/c)²). А за безмасовите частици като светлината, които се движат със скоростта на светлината и нямат никаква маса в покой, импулсът не може да се запише в смисъл на маса, но може да се запише в смисъл на енергия много просто като p = E/c.

Ако искаме да дадем верен отчет за енергията, присъща на която и да е частица, е необходимо да вземем предвид влиянието на количеството движение върху енергията, както и влиянието на масата на покой върху енергията. Уравнението E = mc², колкото и да е просто и компактно, е приложимо само за масивни частици в покой: тази величина е полезна само в определени случаи.

За щастие, съществува почти също толкова проста формула, която отчита както енергията на масата в покой на частицата, ако има такава, така и приноса на количеството на нейното движение към енергията. Тази формула за енергията е следната:

E = √(m²c⁴ + p²c²)

Помислете какво се случва в различните случаи, които тя описва. Ако импулсът (p) е нула, последният член изчезва напълно и се получава E = √(m²c⁴), което отново се превръща в доброто старо E = mc²: оригиналното уравнение на Айнщайн за еквивалентността на масата и енергията на покой.

Ами ако се движим много бавно в сравнение със скоростта на светлината и просто заместим p = mv като импулс?

Тогава уравнението ще приеме формата E = √(m²c⁴ + m²v²c²), или ако извлечем mc² от вътрешността на квадратния корен,

E = mc² * √(1 + (v/c)²).

Тази формула може да не ви звучи много познато, но помислете за следното: това уравнение работи само за стойности на скоростта, или v, които са малки в сравнение със скоростта на светлината, която е „c“.

Следователно частта √(1 + (v/c)²) от уравнението ще бъде само малко по-голяма от единица, защото членът (v/c) е малък. Когато изразът √(1 + x) се среща в математиката, където „x“ е малък в сравнение с 1, той може да бъде идеално апроксимиран с 1 + ½*x.

Ако направим това с нашия израз за енергия, ще превърнем √(1 + (v/c)²) в 1 + ½*(v/c)², което превръща нашия израз за енергия в

E = mc² * (1 + ½*(v/c)²),

който, след като се умножат членовете, се превръща в следното:

E = mc² + ½mv²,

което ни казва, че общата енергия е енергията на масата на покой (частта mc²) плюс кинетичната енергия (частта ½mv²).

Когато обаче разглеждаме масивна частица, движеща се със скорост, близка до тази на светлината, вече не можем да правим такива приближения; трябва просто да изчислим всички членове поотделно, като използваме уравнението E = √(m²c⁴ + p²c²).

Но при много големи моменти на движение, с каквито се сблъскваме в нашите най-големи и мощни ускорители на частици, членът за масата на покой има много малък принос към общата енергия. При 99,999%+ от скоростта на светлината членът m²c⁴ ще бъде много по-малък от члена p²c² в уравнението и затова може да бъде пренебрегнат.

В този случай просто получаваме E = √(p²c²), което се превръща в E = pc: уравнението за връзката между енергията и импулса за фотони и други безмасови частици. Понякога наричаме това приближение ултрарелативистично, защото то е полезно, когато енергията на масата на покой на дадена система е малка в сравнение с енергията, дължаща се на движението; можем да пренебрегнем първия член, члена m²c⁴, дори ако обектът, който се движи ултрарелативистично, не е наистина безмасов.

И така, колкото и да е знаменито уравнението, E = mc² то е само половината от пълното уравнение, необходимо за описанието на енергията на една частица. За да получите другата половина, трябва да помните, че не можете просто да опишете Вселената, като ѝ направите моментна снимка. Тя притежава своеобразна красота и енергия, съдържаща се в движението.