Имагинерните числа в технологиите: Как комплексните числа променят инженерството и технологиите

^{Оригиналът е на William Ross}

За един нематематик може да е трудно да проумее, че буквата „i“ представлява число, което не съществува и е „въображаемо“, което в математиката е прието да се нарича имагинерно.

Ако обаче отворите съзнанието си за този начин на мислене, пред вас ще се разкрие цял един нов свят.

Аз съм математик, който изучава анализа: област от математиката, която се занимава с комплексните числа. За разлика от по-познатите реални числа – цели положителни и отрицателни числа, дроби, квадратни корени, корени от куб и дори числа като пи – комплексните числа имат въображаем компонент.

Това означава, че те са съставени както от реални числа, така и от имагинерното число i: квадратен корен от минус 1.

Да напомним, че квадратният корен на дадено число представлява число, чийто квадрат е първоначалното число. Положително число, умножено над себе си, винаги е положително число. Отрицателното число, умножено по себе си, отново е положително число. Имагинерното число i представлява число, което по някакъв начин, когато се умножи на себе си, е отрицателно.

Разговорите за имагинерните числа с нематематик често водят до възражения от рода на: „Но тези числа не съществуват в действителност, нали?„.

Ако сте един от тези скептици, не сте сами. Дори математическите гиганти са намирали комплексните числа за трудни за преглъщане.

От една страна, наричането на √-1 „имагинерно“ не допринася за това да се помогне на хората да разберат, че то не е фантастично. Математикът Джироламо Кардано в своята книга от 1545 г., посветена на комплексните числа, „Ars Magna“, ги отхвърля като „толкова изтънчени, колкото и безполезни“.

Дори Леонхард Ойлер, един от най-великите математици, предполагаемо е изчислил √(-2) √(-3) като √6. Правилният отговор е -√6.

В гимназията може би сте се сблъсквали с формулата за квадратните уравнения, която дава решения на уравнения, в които неизвестната променлива е в квадрат.

Може би учителят ви в гимназията не е искал да се занимава с въпроса какво се случва, когато (b2 – 4ac) – изразът под квадратния корен във формулата на квадратното уравнение – е отрицателен.

Може би са го замитали под килима като нещо, с което трябва да се занимавате в университета.

Ако обаче сте готови да повярвате в съществуването на квадратни корени от отрицателни числа, ще получите решения на цял нов набор от квадратни уравнения. Всъщност пред вас се разкрива цял един невероятен и полезен свят на математиката: светът на комплексния анализ.

Комплексните числа опростяват редица други области на математиката

Какво получавате при използването на комплексните числа?

От една страна, тригонометрията става много по-лесна. Вместо да запомняте няколко сложни тригонометрични формули, ви е необходимо само едно уравнение, което ги управлява всичките: Формулата на Ойлер от 1740 г.

С помощта на подходящи алгебрични умения можете да манипулирате формулата на Ойлер, за да видите, че повечето от стандартните тригонометрични формули, използвани за измерване на дължината или ъгъла на триъгълник, стават лесни за изпълнение.

Изчисленията също стават по-лесни. Както са забелязали математиците Роджър Котес, Рене Декарт, който е всъщност един от създателите на термина „имагинерно число“, и други, комплексните числа улесняват решаването на привидно невъзможни интеграли и измерването на площта под сложните криви.

Комплексните числа играят роля и за разбирането на всички възможни геометрични фигури, които можете да построите с линийка и шаблон. Както отбелязват математиците Жан-Роберт Арган и Карл Фридрих Гаус, можете да използвате комплексните числа за манипулиране на геометричните фигури като петоъгълници и осмоъгълници.

Комплексният анализ в реалния свят

Комплексният анализ има много приложения в реалния свят.

Идеята на математика Рафаел Бомбели за извършване на алгебрични операции като събиране, изваждане, умножение и деление върху комплексни числа дава възможност те да се използват в изчисленията.

По този начин голяма част от нещата, които учените използват във физиката за изучаване на сигналите или преноса на данни, стават по-лесно използваеми и разбираеми.

Така например комплексният анализ се използва за манипулиране на вълновите сигнали и малките колебания в данните. Те са от решаващо значение за премахване на шума в изкривения сигнал от сателит, както и за компресиране на изображенията за по-ефективно съхранение на данните.

Комплексният анализ дава възможност на инженерите да превърнат сложния проблем в по-опростен. По този начин той е важен инструмент и в много теми от приложната физика, като например изучаване на електрическите и флуидните свойства на сложните структури.

След като започват да боравят по-комфортно с комплексните числа, известни математици като Карл Вайерщрасе, Огюстен-Луи Коши, Бернхард Риман и други успяват да развият комплексния анализ, изграждайки полезен инструмент, който не само опростява математиката и развива науката, но и ги прави по-разбираеми.

Да добавим, че в електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като j за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с i.