Математическите постижения през 2024 година: от птичите ята до теорията на всичко

Какво ново се случи тази година в света на числата?

През месец май 2024 г. се състоя историческо събитие в света на математиката: екип от девет учени приключи с доказателство, с което математиците се бориха в продължение на 30 години. Научният труд е с обем над 800 страници.

Става дума за геометричната хипотеза на Ленгландс, един от ключовите елементи в създаването на „голямата обединяваща теория“ на математиката. Значението на това изследване далеч надхвърля решаването на конкретен проблем. Учените са успели да открият дълбоки и неочаквани преплитания между области, които преди това се смятаха за почти несвързани. Подобни открития, които разрушават бариерите между различните области, често са най-важни за науката.

Това обаче не е единственото постижение на годината. Дори само в областта на геометрията се появиха няколко исторически доказателства. Някои от тях окончателно завършиха дългогодишни изследвания. Други изненадаха света, като опровергаха отдавнашни предположения. В теорията на числата също имаше пробиви: математиците постигнаха напредък в решаването на печално известни проблеми като хипотезата на Риман и хипотезата abc.

Зад всеки пробив стоят десетилетия упорита работа, множество малки стъпки напред и спънки по пътя. Всъщност точно така работи математическият прогрес: постепенно това, което е изглеждало напълно невъзможно, започва да става малко по-постижимо.

По пътя към математическата Пангея

Зад майския пробив стои програмата Langelands – амбициозен проект с половинвековна история. Неговата цел може да се опише като създаване на нова карта на математиката, където различните области на математиката най-накрая ще се обединят като континенти в една единна Пангея.

Работата по програмата „Ленгландс“ обаче се оказа изключително трудна. Математиците трябваше да боравят с много абстрактни понятия и да разработват напълно нови методи за доказване. През 80-те години на миналия век един учен предлага ключовият проблем на програмата да се разглежда от гледна точка на геометрията. В тази версия на проблема се появяват специални математически структури – „снопове“, които дават възможност за описване на сложни геометрични обекти. Идеята изглеждаше обещаваща, но доказателството не бе направено от никого в продължение на повече от 40 години.

И сега, когато решението най-накрая е намерено, математиците очакват то да даде тласък на развитието на различни области на науката.

Нарастващата роля на изкуствения интелект

Когато за първи път се появиха новите ИИ системи като ChatGPT, техните математически способности станаха обект на мемове, и то не от най-ласкавите. Чатботовете не можеха да събират правилно числа, камо ли да решават по-сложни текстови математически задачи. За създаване на пълноценни доказателства не можеше и дума да става. Изглеждаше, че изкуственият интелект ще продължи да се препъва в математиката.

Но тази година новите модели DeepMind на Google превърнаха ИИ в сериозен конкурент на Международната математическа олимпиада – най-голямото математическо състезание за ученици в света. През януари компанията представи AlphaGeometry – модел, който решава задачи по геометрия почти толкова добре, колкото човешки златен медалист. Няма и шест месеца по-късно AlphaGeometry 2 вече се доближаваше до златния медал , а в комбинация с големия езиков модел Gemini на Google можеше да доказва по-общи задачи достатъчно добре, за да спечели сребърен медал на цялостния изпит на олимпиадата. DeepMind нарече този последен модел AlphaProof. Другите разработки на компанията също са впечатляващи. Сред тазгодишните нови продукти са Astra, AudioLM, SAFE, V2A и много други.

През 2022 г. математици, използващи машинно обучение, откриха странни модели във важните уравнения, които се базират на така наречените елиптични криви. Моделите изглеждаха просто удивително: ако погледнете някои числени свойства на елиптичните криви от правилния ъгъл, те приличат на ята птици – явление, известно като мурмурация. В продължение на няколко години учените се опитват да разберат природата на това явление. В процеса на работа те ги откриха в много различни обекти от теорията на числата, което доведе до нови важни работи и открития, включително до разработването на нов тип функции.

С усъвършенстването на ИИ методите ще има все повече и повече истории като тази. Подобни неща сме виждали много пъти преди – когато компютрите постепенно навлизаха в света на математиката и откриваха нови хоризонти за научните изследвания. Сега експертите се опитват да прогнозират как ще изглежда този процес с помощта на ИИ.

Счупени рекорди за опаковане на сфери

За разлика от геометричната хипотеза на Ленгландс, проблемът за опаковането на сфери е лесен за формулиране – как да се подредят еднакви сфери, така че да запълнят възможно най-голям обем, без да се припокриват? В трите измерения сферите могат да бъдат подредени в пирамида, както портокалите в магазина. Но какво да правим в пространствата с по-голяма размерност?

Никой не знаеше отговора за което и да е измерение, по-голямо от три, но само до 2016 г., когато украинската математичка Марина Вязовска доказа, че определени решетки са оптимални за опаковане на сфери в осем- и 24-измерно пространство. И след това този въпрос остана отворен.

Учените искат да намерят общо решение – формула, която дава начин за плътно опаковане на сферите в пространство с произволно висока размерност, дори ако опаковането не е напълно оптимално.

През април, за първи път от 75 години, проблемът се придвижи напред. Учените поеха по изцяло нов път. Ако Вязовска търсеше подредени, чисти начини за подреждане на сферите, те, опирайки се на теорията на графите, предложиха хаотично опаковане. И този неочакван подход се оказал по-ефективен от всички предишни решения.

Това обаче не е единственият напредък за 2024 г. Двама математици – включително Томас Хейлс, който още през 90-те години на миналия век доказа оптималния начин за опаковане на сфери в три измерения – доказаха твърдението дори и за най-неподходящите форми.

Опровергаване на една 50-годишна хипотеза

Доказването на стари хипотези е чудесно, но опровергаването им е също толкова важно. Тази година трима математици откриха контрапримери за хипотезата на Милнър – 50-годишен проблем за връзката между общата форма на даден обект и начина, по който той изглежда, при доближаване. Работата, която включваше разработване на нов тип структура, показа, че вселената на възможните форми е дори по-странна, отколкото математиците са си представяли – въпреки че те винаги са смятали, че тя е доста странна.

Важни стъпки в теорията на числата

Ако геометричните открития от 2024 г. могат да се сравнят с издигането на великолепни паметници, то в теорията на числата математиците се занимават с не по-малко важна работа – полагат основите на бъдещите сгради.

Така например двама учени постигнаха напредък в изучаването на Римановата хипотеза – един от най-известните нерешени проблеми в математиката. Те изведоха нова формула за изчисляване на възможните изключения от хипотезата. Това постижение не само надмина резултата отпреди 80 години, но и помогна да се разбере по-добре как се разпределят простите числа.

Трима други млади математици също представиха интересни разработки. Те изследваха как неминуемо възникват подредени структури в числовите множества. Учените успяха по-точно да определят при каква големина на дадено множество задължително се появяват равномерни числови модели. Това е първата стъпка напред от десетилетия насам в решаването на така наречения „проблем на Семереди“.

Друго постижение е работата на Хектор Пастен. Той изучава последователността на числата 2, 5, 10, 17, 26 и нататък – т.е. числата от вида n² + 1. Изследванията му разкриха неочаквани връзки между събирането и умножението. Освен това Пастен успява да получи нови резултати за хипотезата abc – един от най-важните и най-спорни проблеми в съвременната математика.

Все още има да се извърви дълъг път, преди тези въпроси да бъдат окончателно решени. Но всяка малка стъпка напред дава на математиците нови инструменти и открива неочаквани подходи към старите проблеми. Времето ще покаже какво ще донесе 2025 г. Да се надяваме, че поне в това отношение всичко ще се окаже по-добро.