Математици откриха нов начин за преброяване на простите числа

Простите числа, делящи се само на себе си и на единица са основни елементи на математиката. На пръв поглед разпределението им по числовата ос изглежда хаотично, но този хаос крие определени закономерности. Математиците се опитват да ги разгадаят от векове, стремейки се да разберат как точно са подредени тези числа и какво може да означава това за други области на математиката.

Неотдавна математиците Бен Грийн от Оксфорд и Метаб Сохни от Колумбийския университет направиха важна крачка напред, като доказаха хипотезата, че съществува безкрайно голям набор от прости числа, представени като:

p² + 4q² – тук p и q също са прости числа. Например, числото 41 може да се изрази като 41 = 5² + 4 × 2²

Идеята за разглеждане на такива изрази датира от 1640 година, когато Пиер дьо Ферма изказва предположението, че има безкрайно много прости числа, които могат да се представят като сума от квадратите на две числа. По-късно Леонхард Ойлер доказва това предположение. Въпреки това добавянето на допълнителни условия, като например изискването едно от числата да е нечетно или да е идеален квадрат прави задачата много по-трудна. През 2018 година беше предложена хипотеза за простите числа от вида p² + 4q², от която следваше, че такива числа също са безкрайни.

Грийн и Сони успяха да я докажат, използвайки нетрадиционен подход. Вместо да броят такива прости числа директно, те въведоха понятието „груби прости числа“ – такива, които не се делят на първите няколко прости числа като 2, 3 и 5.

Например, ако разгледаме числата от 1 до 200, грубите прости числа ще включват числа като 121, 143, 169 и 187. Въпреки, че не всички от тях са прости, този набор от числа е по-лесен за анализиране. Математиците са доказали, че съществуват безкрайно много числа от вида p² + 4q², където p и q са груби прости числа. След това те са използвали нормата на Гауърс, математически инструмент за анализ на структурата на числата, за да установят еквивалентност между грубите прости числа и реалните прости числа, с което доказателството е завършено.

Нормата на Гауърс е разработена за оценка на случайността и структурата на числовите последователности. Приложението ѝ в теорията на числата е неочакван и мощен инструмент. Това откритие може да се използва и за решаване на други сложни задачи извън броенето на прости числа.

Доказването на хипотезата p² + 4q² е значителна стъпка в развитието на съвременната математика. Освен това то открива нови хоризонти за изучаването на други семейства прости числа, обогатявайки арсенала от методи на теорията на числата.