Светът стана по-ясен: доказа се как от симетричните уравнения се поражда асиметрична реалност

Математиците приключиха с открития през 1900 г. фрагмент от програмата на Хилберт.

През 1900 г. Давид Хилберт формулира 23 задачи, които се надява да определят траекторията на математиката за един век напред. Сред тях шестият – един от най-амбициозните – призовава физиката да бъде превърната в строга логическа система, точно както Евклид е описал геометрията чрез аксиоми. Хилберт е мечтал природните закони да не са просто описание на наблюдаемото, а да са следствие от математически последователен и непротиворечив модел. Още тогава обаче мащабът на задачата е изглеждал гигантски. Той не се ограничавал само в една област – целта му била да придаде аксиоматична форма на всичко, свързано с количествените науки. По-конкретно той предлага да се започне с теорията на газовете: да се докаже, че моделите, описващи движението на отделните молекули, наистина водят до същите резултати като уравненията, описващи поведението на материята като цяло.

Физиците отдавна използват три нива на описание на газа: на най-ниско ниво – частици, движещи се според законите на Нютон; на междинно ниво – статистическата картина на Болцман, описваща разпределението на частиците по скорости и позиции; и на най-общо ниво – макроскопичната картина, където газът се превръща в непрекъсната среда, подчиняваща се на уравненията на Навие-Стокс. Тези модели изглеждат съвместими, но доскоро нямаше строги доказателства за подобна съвместимост. Преходът от нивото на средата към макронивото е обоснован от математиците в редица случаи, но първата връзка – от частиците към уравнението на Болцман – остава недоказуема. Единственият сериозен напредък е направен през 1975 г. от Оскар Ланфорд, който успява да покаже, че за малък интервал от време, много по-кратък от мигването на окото, вероятността за повторни сблъсъци на частиците е малка и уравнението на Болцман работи. Но щом интервалът от време стане дори малко по-дълъг, контролът върху поведението на частиците се губи и доказателството се разпада.

Оттогава насам десетки изследователи се опитват да продължат да преследват този резултат, но без успех. През 2023 г. Ю Денг от Чикагския университет и Захер Хани от Мичиган внезапно обявяват, че са успели да постигнат напредък в тази област. И двамата преди това са работили основно върху вълновите системи, а не върху класическата кинетика, което още повече изненадва техните колеги. Те обявиха, че ще приложат предишната си работа с вълните към анализа на поведението на частиците – и в следващата си статия обещаха да покажат как да заобиколят ограниченията, наложени от теоремата на Ланфорд. По време на дискусиите към тях се присъединява дипломантът от Принстънския университет Сяо Ма, който предлага ценни идеи за адаптиране на методите към случая на взаимодействащите си частици. Заедно те решават да започнат с опростен модел – газ в безкрайно пространство, където молекулите не са ограничени от стени и се разсейват с времето, намалявайки вероятността от повторни сблъсъци.

Основната трудност се състояла в това, че сблъсъците на частиците пораждат огромен брой възможни сценарии: кои с кои се сблъскват, в какъв ред, с какви последици. Математиците трябваше да анализират всички възможни схеми на взаимодействие – и дори след предварителното им филтриране те бяха безкрайно множество. За да организират този хаос, изследователите прилагат идеята за разбиване на сложната структура на опростени фрагменти. Тази техника вече им е помагала в предишни задачи: когато са работили с вълните, те са се научили да разделят сложните конфигурации на набори от елементарни и да анализират вероятността на всяка схема поотделно, а след това да събират общата картина. Но за частиците методът трябваше да бъде изграден наново от нулата. За разлика от вълните, частиците се сблъскват една с друга и всеки сблъсък може радикално да промени цялата бъдеща динамика.

Изследователите започват с елементарни случаи – кратки периоди от време, когато частиците взаимодействат само по веднъж, без да се повтарят. Постепенно те разширяват анализа, за да включат по-дълги интервали и сложни модели с множество сблъсъци. Те се срещат почти всеки ден в Zoom – често през нощта, след като децата са си легнали. Според Хани процесът е бил мъчително бавен: често са затъвали, връщали са се назад, преоценявали са тактиката. Интуицията е била развита по протежение на процеса – като се започне с опити, грешки и многобройни задънени улици.

През пролетта на 2024 г. работата е завършена. Авторите доказаха, че в безкрайното пространство вероятността за многократни повторения на взаимодействията е толкова малка, че е възможно уравнението на Болцман да бъде строго изведено от Нютоновата динамика. Това е първият пример в историята на пълен логически преход от микроскопично ниво към статистическо описание на газ.

Те не спират дотук. Следващата стъпка е да прехвърлят резултата към по-реалистичен модел на газ, поставен в кутия. В този случай поведението на частиците става по-сложно: те се сблъскват с граници, могат да се връщат безкрайно и да взаимодействат отново. Въпреки това около 80% от аргументите от статията за безкрайния модел са запазени. През март те публикуват разширен текст, в който за първи път доказват наличието на цялостна логическа верига – от законите за движение на отделните молекули до уравненията на Навие-Стокс, описващи поведението на газа като непрекъсната среда.

Резултатът им обаче има и по-философско значение. В микрокосмоса законите са симетрични по отношение на времето: може да се проследи откъде е дошла една частица и накъде отива. В света на уравненията на Болцман – и особено в уравненията на макрофизиката – няма такава симетрия. Миналото и бъдещето са неравностойни: топлината не преминава спонтанно от студено към топло тяло, капката мастило във водата не се сглобява отново, възрастта не се връща назад. Още тогава Болцман обяснява, че тази асиметрия е следствие от вероятностите: почти всички възможни състояния на един газ водят до неговото разсейване. Теоретично обратният процес е възможен, но на практика вероятността за него е нищожно малка.

Досега това твърдение оставаше чисто философско. Ланфорд е успял да го обоснове само в най-кратките времеви мащаби. Работата на Денг, Хани и Ма за първи път предоставя строга математическа основа за това, което преди се е възприемало като очевидно, но недоказуемо. Математическото доказателство за необратимостта не е принципно, а е резултат от точното описание на всички възможни конфигурации.

Сега вниманието на изследователите е насочено към по-сложните системи – газове с молекули със сложна форма, както и към взаимодействия отвъд простата „твърда топка“. Разкритият от тези учени път води до нови формализации и може би до аксиоми на по-широки раздели на физиката. И ако някога мечтата на Хилберт е изглеждала като утопия, сега тя придобива реални очертания – стъпка по стъпка, чрез внимателни, трудно извоювани доказателства.