Принципът на Дирихле: математиката доказа, че не сте толкова уникални, колкото си мислите

Окосмяването е идеалният начин да се демонстрира математическият подход към „принципа на Дирихле“, формулиран за първи път през 1622 г.

Възможно ли е да се намерят двама души с еднакъв брой косми на главата? Отговорът е уверено „да“ и това може да се докаже дори без статистически анализ. За тази цел е достатъчен „принципът на чекмеджетата“ или принципа на разпределението, известен още като „принцип на Дирихле“

Този принцип на пръв поглед изглежда невероятно прост: ако разделите n обекта в k чекмеджета и има повече обекти, отколкото кутии (n > k), то няколко обекта задължително ще се окажат в една и съща кутия. Това твърдение, което на пръв поглед съвсем не е лишено от здрав смисъл, е споменато за първи път от френския учен Жан Льорешон през 1622 г. Както често се случва обаче, законът на Стиглер – според който научните открития рядко носят имената на истинските си автори – важи и тук. Принципът на чекмеджето се приписва на Петер Гюстав Льожен Дирихле, който е живял 200 години по-късно от Льорешон.

Но да се върнем на въпроса за косата: как можем да определим, че двама души в света имат еднакъв брой косми на главите си? Първо трябва да определим максималния брой косми, които хората имат. Средностатистическият човек има между 90 000 и 150 000 косъма и спокойно може да се каже, че този брой не надвишава един милион. Населението на планетата е осем милиарда души, което означава, че със сигурност ще има хора със същия брой косми, докато някой от тях не се разчеше и не загуби няколко косъма. Но след няколко движения на гребена вероятно ще се образува нова група от хора със същия брой косми.

Възможно е дори да се оцени минималният брой хора с еднакъв брой косми. За целта нека да разгледаме два крайни случая: когато всички имат еднакъв брой косми (например ако всички си обръснат главите) и когато броят на космите е възможно най-разнообразен.

Представете си един милион номерирани стаи, в които всеки човек влиза в стая с номер, съответстващ на броя на космите на главата му. Ако всички на Земята са еднакво окосмени, всички ще се окажат в една и съща стая. Тогава осем милиарда души ще бъдат в една стая, а останалите 999 999 стаи ще останат празни.

Сега нека си представим обратния случай, когато хората са разпределени така, че възможно най-малко хора да се окажат в една и съща стая. Ако осем милиарда души се разпределят равномерно в един милион стаи, във всяка стая ще има по 8000 души. При всяко преразпределение обаче в една от стаите задължително ще има повече от 8000 души, което потвърждава: на планетата има поне 8000 души с еднакъв брой косми.

По този начин можем да демонстрираме една подсилена версия на принципа на чекмеджето: ако n обекта са разпределени в k категории и n > k, то поне n / k обекта ще се окажат в една и съща категория. Ако разпределим обектите равномерно, средно n / k обекта ще се окажат в една категория, а при най-малката хетерогенност една от категориите задължително ще съдържа повече от n / k обекта. Ако резултатът от делението е нецяло число, минималната стойност съответства на закръглената стойност.

Аналогично може да се установи, че във всяка достатъчно голяма гора (в която броят на дърветата е по-голям от броя на листата на дървото в нея с най-много листа) има поне две дървета с еднакъв брой листа. Нека да разгледаме още примери.

Така например, ако в един футболен мач са отбелязани седем гола, единият отбор е отбелязал най-малко четири гола (7 / 2, закръглено нагоре). Или да вземем по-големи числа: минимум 23 000 нюйоркчани са родени в един и същи ден. В града живеят около 8,5 милиона души и когато се раздели на 366 дни, 8 500 000 / 366 = 23 000 души споделят един рожден ден.

Интересни и невинаги значими изводи могат да се направят, като се използва принципът на чекмеджетата. Например при разпределението на точки върху сфера: като изберем пет произволни точки, можем да кажем, че поне четири от тях ще се окажат в едно и също полукълбо. Като изберем две точки, за да начертаем екватора, сферата се разделя на две полукълба, в които попадат останалите три точки. Използвайки принципа на Дирихле можем да кажем, че поне две от тях ще се окажат в една и съща полусфера. Ако се добавят точките на екватора, винаги ще има поне четири точки в едната половина на сферата.

Принципът на чекмеджетата илюстрира, че дори очевидните твърдения могат да имат голямо значение в математиката. Това не е изненадващо, тъй като математическата работа се основава на основни предположения, като например съществуването на празно множество, от които могат да се изведат такива сложни резултати като теоремите за непълнота на Гьодел . Простите системи могат да доведат до сложни последствия.

Принципът на Дирихле е прост, интуитивен и често полезен метод за доказване на твърдения за крайно множество. Този принцип често се използва в дискретната математика, където установява връзка между обекти (косми, голове и т.н.) и клетки (кутии, чекмеджета) при определени условия.