Целувка в 17 измерения: задачата на Нютон за сферите, преодоляна с помощта на нов метод

Как една студентка от Масачузетския технологичен институт разтърси вековна математическа традиция.

През май 1694 г. в лекционната зала на Кеймбриджкия университет се провежда разговор между Исак Нютон и астронома Дейвид Грегъри, който определя развитието на математиката за векове напред. Точните детайли на разговора им са зле запазени и вероятно са отчасти апокрифни. Започвайки с дискусия за естеството на движението на звездите с различни размери около централното слънце, учените стигат до фундаментален геометричен проблем, който дава началото на цяло направление в математиката.

Същността на въпроса изглеждала проста: колко еднакви сфери могат да се разположат около централната сфера така, че всяка от тях да я докосва в една точка, без да се пресича с останалите? В триизмерното пространство около централната сфера лесно могат да се разположат 12 сфери, но между тях има празнини. Грегори смятал, че към тези празнини може да се добави тринадесета сфера. Нютон считал, че това е невъзможно. Оттук възникнал „проблемът за броя на целувките“ (наречен така по аналогия с момента на съприкосновение на билярдните топки).

Проблемът бил толкова труден, че на математиците им отнело почти три века, за да докажат правотата на Нютон. Едва през 1952 г. това било потвърдено математически: в триизмерното пространство максималното „число на целувките“ наистина е равно на 12. През годините концепцията е намерила практическо приложение при анализа на атомните структури, създаването на кодове за корекция на грешките и други области на науката.

Но какво да кажем за другите измерения? В двуизмерното пространство решението е елементарно: около една монета на масата се поставят точно шест подобни монети, като се образува модел, подобен на маргаритка:

Сложността на проблема обаче нараства експоненциално с увеличаване на размерността. Математиците успяват да намерят точни решения за четириизмерна среда, както и за осем и двадесет и четири измерения, където сферите се подреждат в изненадващо симетрични решетъчни структури.

В средата на ХХ век математиците намират неочакван начин да решат загадката чрез теорията на информацията. Те насочиха вниманието си към кодовете, които помагат за възстановяването на съобщенията при срив в трансфера на данни. Принципът на тяхната работа се оказа тясно свързан с геометрията на сферите: всяко кодирано съобщение представлява център на сфера в многомерното пространство. Ако по време на предаването възникнат смущения, изкривеното съобщение все още попада в „своята“ сфера и може да бъде възстановено.

През 1967 г. математикът Джон Лийч използва невероятно ефективен код, за да конструира решетка от точки, наречена по-късно на негово име. Същият код по-късно е използван от НАСА за комуникация с космическия апарат „Вояджър“. Половин век по-късно математици доказват, че в 24-измерното пространство решетката на Лийч позволява сферите да бъдат разположени толкова плътно, че всяка от тях да докосва 196 560 съседни сфери.

През пролетта на 2022 г. студентката от Масачузетския технологичен институт Анки Ли се противопоставя на традицията и се отказва да търси симетрични структури. По време на лекциите тя се опитала да си представи как изглеждат многомерните конфигурации, но това се оказало твърде трудно. Научният ѝ ръководител я посъветвал да се насочи към по- големите измерения, където ще бъде по-лесно да получи резултати. Ли обаче се заинтересувала от измеренията от 17 до 23 – област, в която никой друг не можел да постигне напредък.

Лий първо се насочила към проблема в 16 измерения. Там решението вече било известно – решетката на Барнс-Уол, създадена през 50-те години на миналия век въз основа на специален математически код. Тази решетка, както и всички подобни структури в по- големите измерения, има едно важно свойство: когато определяме положението на центъра на всяка сфера, броят на отрицателните координати трябва винаги да е четен. Самите сфери се подреждат симетрично и не се засичат една с друга.

Лий решава да провери: какво ще стане, ако използваме нечетен брой отрицателни координати? В 16 измерения подходът не проработил. Но когато го приложила в 17-измерното пространство, между фигурите имало свободни пространства – там било възможно да се добавят още няколко сфери, без да се наруши общата структура.

Отначало момичето не повярвало на собствените си изчисления. Тя казала на приятелите си, че вероятно е допуснала елементарна аритметична грешка. Дори нейният ръководител, професор Хенри Кон, се отнесъл скептично към работата – лесно е да се допусне грешка при подобни изчисления, особено когато наистина искаш да намериш решение.

Летният стаж в Microsoft Research позволил на учените внимателно да усъвършенстват използваните коригиращи кодове. Те систематично добавяли съвместими сфери към „странната“ 17-измерна структура на Ли. В крайна сметка те успели да поставят 384 допълнителни сфери, увеличавайки долната граница на броя на докосванията от 1967 на 5730. В 17-измерното пространство сферите могат да образуват до 10 978 допирателни – така че все още има възможност математиците да подобрят концепцията.

Методът на Лий работи и за пространства с 18 до 21 измерения, но не е възможно да се отиде по-далеч. Откритите конфигурации са много по-различни от обичайните симетрични структури, основани на решетката на Лий.

Разбира се, Ли не е първата, която се осмелява да се отклони от каноните. Неотдавна например унгарският математик Ференц Сьольоси взе умишлено неидеална подредба на сферите в четири измерения и въз основа на нея построи нова петизмерна конфигурация. Преди това математиците познаваха само две възможни решения за петте измерения, но Шьольоси откри трето. По-късно се оказва, че и друга група учени е стигнала до същата конфигурация, но не са осъзнали важността на откритието си.

Значението на това изследване далеч надхвърля рамките на чистата геометрия. Подобрените оценки на броя на докосванията намират приложение в кристалографията, теорията на кодирането и проектирането на комуникационни системи. В продължение на повече от три века един проблем, възникнал в резултат на астрономическа дискусия, се е превърнал в мощен инструмент за разбиране на структурата на пространството и материята.