Ето как една гениална формула, издълбана върху мост, промени историята на математиката

На 16-ти октомври 1843 г. ирландският математик Уилям Роуън Хамилтън получава прозрение по време на разходка покрай Кралския канал в Дъблин. Той бил толкова развълнуван, че извадил ножа си и издълбал своето откритие на моста Брум.

Това е най-известният графит в историята на математиката, но изглежда доста невзрачен:

i ² = j ² = k ² = -1

И все пак откритието на Хамилтън променя начина, по който математиците представят информацията. А това от своя страна опрости безброй технически решения – от изчисляването на силите при проектирането на мостове, ядрено-магнитен резонанс или вятърна турбина до програмирането на търсачки и ориентирането на марсиански роувър.

И така, какво всъщност означава този толкова известен графит?

Въртящите се обекти

Математическият проблем, който Хамилтън се опитва да реши, е как да представи връзката между различните посоки в триизмерното пространство. Посоките са важни за описване на силите и скоростите, но Хамилтън се интересува и от триизмерните ротации.

Математиците вече са знаели как да представят положението на даден обект с координати като x, y и z, но за да разберат какво се случва с тези координати при завъртане на обекта, е била необходима сложна сферична геометрия. Хамилтън е търсел по-прост метод.

Той се вдъхновил от един невероятен начин за представяне на двуизмерните завъртания.

Трикът се състоял в използването на така наречените „комплексни числа„, които имат „реална“ част и „имагинерна“ част. Имагинерната част е кратна на числото i, „квадратен корен от минус едно“, което се определя от уравнението i ² = -1.

В началото на XIX в. няколко математици, сред които Жан Аржан и Джон Уорън, откриват, че комплексното число може да бъде представено чрез точка в равнина. Уорън също така показва, че е съвсем просто от математическа гледна точка да се завърти една линия на 90° в тази нова комплексна равнина, както се завърта стрелката на часовника от 12,15 ч. на 12 ч. на обяд. Защото точно това се случва, когато умножите едно число по i.

Хамилтън е силно впечатлен от тази връзка между комплексните числа и геометрията и се опитва да я осъществи в трите измерения. Той си представя триизмерна комплексна равнина с втора въображаема ос по посока на второ въображаемо число j, перпендикулярно на другите две оси.

Отнело му множество трудни месеци, за да разбере, че ако иска да разшири двуизмерното ротационно вълшебство на умножението по i, му трябват четириизмерни комплексни числа с трето имагинерно число k.

В това четириизмерно математическо пространство оста k би била перпендикулярна на останалите три. Не само, че k би била дефинирана чрез k ² = -1, но и за нейното дефиниране е необходимо k = ij = -ji. (Комбинирането на тези две уравнения за k дава ijk = -1.)

Ако обединим всичко това, ще получим i ² = j ² = k ² = ijk = -1 – откровението, което като мълния поразява Хамилтън на моста Брум.

Кватерниони и вектори

Хамилтън нарича своите 4D числа „кватерниони“ и ги използва за изчисляване на геометричните ротации в 3D пространството. Това е видът въртене, който днес се използва за придвижване на роботите или за ориентиране на сателитите.

Но по-голямата част от практическата магия се проявява, когато разглеждате само имагинерната част на един кватернион. Именно нея Хамилтън нарича „вектор„.

Векторът кодира два вида информация едновременно, най-известните от които са големината и посоката на дадена пространствена величина като сила, скорост или относително положение. Така например, за да представи положението на даден обект (x, y, z) спрямо „началото“ (нулевата точка на осите на положението), Хамилтън визуализира стрелка, насочена от началото към местоположението на обекта. Стрелката представлява „вектора на положението“ x i + y j + z k.

„Компонентите“ на този вектор са числата x, y и z – разстоянието, на което се простира стрелката по всяка от трите оси. (Другите вектори биха имали различни компоненти в зависимост от техните величини и единици).

Половин век по-късно ексцентричният английски телеграфист Оливър Хевисайд помага за откриването на съвременния векторен анализ, като заменя въображаемите структури i, j, k на Хамилтън с реални единични вектори i, j, k. Но и в двата случая компонентите на вектора остават същите – следователно стрелката и основните правила за умножение на векторите си остават същите.

Хамилтън дефинира два начина за умножаване на векторите. При единия се получава число (днес това се нарича скаларно или точково произведение), а при другия – вектор (известен като векторно или кръстосано произведение). Тези умножения днес се срещат в громен брой приложения, като например формулата за електромагнитната сила, която е в основата на всички наши електронни устройства.

Единичният математически обект

Без да знае за Хамилтън, френският математик Олинде Родригес предлага версия на тези понятия само три години по-рано в своята работа върху ротациите. Но да наричаме умноженията на Родригес произведения на вектори е ретроспекция. Хамилтън е този, който свързва отделните компоненти в една единствена величина – вектора.

Всички останали, от Исак Нютон до Родригес, не са имали понятие за единен математически обект, обединяващ компонентите на дадена позиция или сила. (Всъщност е имало един човек, който е имал подобна идея: самоукият германски математик Херман Грасман, който независимо от Хамилтън е изобретил не толкова прегледна векторна система, при това по същото време).

Хамилтън също така разработил и стегнат и компактен запис, за да направи уравненията си кратки и елегантни. Той е използвал гръцка буква за означаване на кватерниона или вектора, но днес, следвайки Хевисайд, е прието да се използва удебелена латинска буква.

Този компактен запис променя начина, по който математиците представят физическите величини в триизмерното пространство.

Да вземем например едно от уравненията на Максуел, отнасящо се до електрическото и магнитното поле:

∇×E = –∂B/∂t

Само с няколко символа (няма да навлизаме във физическите значения на ∂/∂t и ∇ ×) е показано как векторът на електрическото поле (E) се разпростира в пространството в отговор на промените във вектора на магнитното поле (B).

Без векторна нотация това би било записано като три отделни уравнения (по едно за всяка компонента на B и E) – всяко от тях представлява плетеница от координати, умножения и изваждания.

Силата на постоянството

За пример е взето едно от уравненията на Максуел, защото чудатият шотландец Джеймс Клерк Максуел е първият голям физик, който осъзнава силата на компактната векторна символика. За съжаление Хамилтън не доживява да види одобрението на Максуел. Но той никога не се отказва от вярата си в своя нов начин за представяне на физичните величини.

Упоритостта на Хамилтън пред лицето на отхвърлянето от страна на мнозинството наистина може да трогне всеки от нас, който прочете книгата си за векторите.

Той би бил на седмото небе от щастие, че в наши дни векторите се използват толкова широко и че те могат да представят както цифрова, така и физическа информация. Но той би бил особено доволен, че при програмирането на ротациите кватернионите все още често са най-добрият избор – нещо, което много добре знаят програмистите от НАСА и занимаващите се с компютърна графика.

В знак на признание за постиженията на Хамилтън любителите на математиката се отправят по маршрута на известната му разходка на всеки 16-ти октомври, за да отбележат Деня на Хамилтън. Но всички ние нуквално всеки ден използваме технологичните плодове на този невзрачен графит.