Записването на крайния брой цифри е невъзможно: известен математик за природата на числото Пи

Когато ирационалността се превръща в красива мистерия.

Всяка година на 14-ти март светът празнува Деня Пи, избран да съвпадне с най-известното приближение на числото π – 3,14. На този ден учени, математици и любители на науката си припомнят важността и уникалността на това загадъчно число.

Още от самото начало числото пи (π) се определя като съотношение между дължината на окръжност и нейния диаметър. Приложението му обаче се простира далеч отвъд геометрията и се среща в напълно неочаквани области като химията, физическите науки и медицината, където то не е пряко въобще не е свързано с кръговете.

Числото Пи принадлежи към голяма група математически обекти, известни като ирационални числа. Това означава, че десетичното им представяне е безкрайно и те не могат да бъдат точно изразени като дроби. Учените вече изчислиха стойността на пи до 105 трилиона знака след десетичната запетая, въпреки че повечето хора са запознати с опростената му форма 3,14. Но откъде математиците знаят, че Пи е именно ирационално число?

Рационалните числа, които най-често използваме в ежедневието, могат да бъдат изразени като дроби, при които едно цяло число се дели на друго. Пи, със своята безкрайна поредица от цифри след десетичната запетая, явно не се вписва в тази категория.

Математикът Вадим Зудилин от университета Радбуд в Нидерландия обяснява:

„Рационалността е практическо свойство, което предполага явен достъп до числото без никакво приближение, с други думи, способността да се запише едно число с краен брой символи.“

Доказването на това, че Пи не може да се запише като дроб, обаче се оказва изключително трудна задача. Математиците не разполагат с универсален метод за доказване на ирационалността на дадено число, затова се налага да разработват уникални доказателства за всеки отделен случай.

„Как се доказва, че едно число не е дроб? – отбелязва математикът Кийт Конрад от Университета на Кънектикът. – Трябва да се потвърди едно отрицателно твърдение.“

Въпреки това през последните 300 години математиците успяха да формират различни доказателства за ирационалността на числото пи, включващи методи от различни части на математиката. Всяко едно от тези доказателства започва с предположението, че Пи е рационално число и се записва като дроб. В хода на последователните математически операции и заключения, включващи приетите стойности на тази дроб, в крайна сметка възниква противоречие, което опровергава първоначалното предположение. По този начин се установява ирационалността на Пи.

Често в подобни доказателства се използват сложни математически инструменти, които изискват задълбочено познаване на университетските курсове по висша математика, тригонометрия и безкрайните редове. Общият принцип обаче винаги е един и същ – това е методът на доказателството чрез доказване от противното.

„Съществуват доказателства, които използват математически анализ и тригонометричните функции“, обяснява Конрад. – В някои случаи числото пи се определя като първото положително решение на уравнението sin(x) = 0. Първото такова доказателство е предложено от Ламберт още през 60-те години на XIX в. и се основава на безкрайни верижни дроби.“

От друга страна, доказателството за ирационалността на пи може да се получи и чрез друга негова важна характеристика. Числото пи принадлежи към трансцендентните числа – специален клас числа, които не могат да бъдат корени на нито едно алгебрично уравнение с рационални коефициенти. Тъй като всяко трансцендентно число е едновременно и ирационално, доказването на трансцендентността на числото Пи автоматично потвърждава неговата ирационалност.

„Използвайки методите на математическия анализ с комплексни числа, е възможно да се докаже трансцендентността на Пи“, отбелязва Конрад. – Доказателството се основава на известното уравнение, известно като идентичност на Ойлер: e^(iπ) + 1 = 0.“

Въпреки че универсалното значение на Пи се дължи отчасти на неговата ирационалност, за практическите цели обикновено са достатъчни седем или осем знака след десетичната запетая. Така например дори НАСА използва само 16 цифри в своите изчисления.

„За практическите задачи използваме приблизителна стойност, например 3,1415926 – а това вече е достатъчно много информация“, подчертава Зудилин. – Но, разбира се, това не е достатъчно за математиката. Трябва да знаем природата на самото число.“