Защо всяко въртене може да бъде отменено, като се повтори два пъти: физиците откриха начин за контролиране на хаоса

Ако изстреляте камък със сложна форма от един катапулт, той ще полети по дъга, ще се търкаля и върти произволно във въздуха под въздействието на първоначалния импулс и съпротивлението на въздуха. Предизвикателството е следното: можем ли да намерим един-единствен регулатор – да речем, общ множител, който да променя интензивността на всички тези въртеливи движения – който да накара скалата да се приземи в края на пътуването си в точно същата ориентация, в която е започнала?

Интуицията ни подсказва, че това е почти невъзможно. Има твърде много променливи и твърде много хаотични движения. Едно скорошно изследване на физиците Жан-Пиер Екман и Цви Тлусти обаче показва, че има решение, но то изисква едно условие, което не е очевидно: цялата поредица от завъртания трябва да бъде осъществена не веднъж, а два пъти.

Това откритие е пряко свързано с контрола на квантовите системи, спиновете на частиците и кубитите, където прецизният контрол на ориентацията е в основата на бъдещите технологии.

Какво е „разходката“ в спиновото пространство?

Първо, нека да изясним понятията. Всяко въртене в триизмерното пространство се определя от два параметъра: оста, около която се извършва въртенето, и ъгълът на това въртене. Множеството от всички възможни завъртания образува абстрактно математическо пространство.

Когато една система (например спинът на електрон в магнитно поле) претърпи поредица от последователни завъртания, тя извършва своеобразна „разходка“ или „траектория“ в това пространство. Началната точка е „без спин“, или, математически казано, идентична трансформация. Крайната цел е да се върне в същата начална точка.

Изследователите се запитаха: възможно ли е да се вземе всяка, колкото и сложна да е „разходка“ и да се избере такъв единствен множител λ (ламбда), който, приложен към всички ъгли на въртене, да върне системата към нулата?

Защо еднократното преминаване почти винаги е обречено на неуспех?

Опитът да се справим с един пас се сблъсква с основния проблем на вероятността. Целта ви е да уцелите една съвсем малка, единствено правилна точка. Шансовете за успех очевидно клонят към нула.

Състоянието „без въртене“ е една-единствена точка в огромното пространство от всички възможни ориентации. Статистическите анализи, основани на т.нар. мярка на Хаар, показват, че случайните завъртания са изключително склонни да се групират около малките ъгли. С други думи, вероятността една случайна последователност от завъртания сама по себе си да завърши в нулевата точка е почти нулева. Промяната на еднопосочния параметър λ не променя тази картина.

Магията на удвояването: как 180 градуса променят всичко

Следва ключова промяна. Какво ще стане, ако изискваме от системата да се върне в първоначалното си състояние не след един, а след два идентични цикъла на завъртане?

Математически това означава, че резултатът от единия цикъл трябва да е такъв, че повторението му да се „обезсили“. Единственото нетривиално завъртане, което има това свойство, е завъртане точно на 180 градуса (или π радиан). Завъртете обект на 180 градуса и след това отново на 180 градуса около същата ос и той ще се върне в първоначалното си положение.

И тук нещата се променят драматично. Нашата цел вече не е една-единствена точка на „нулевото завъртане“, а всяко завъртане с ъгъл от 180 градуса, независимо от оста. В пространството на завъртанията това не е точка, а цяла двуизмерна повърхнина.

Да се уцели конкретна точка с един параметър λ е почти нереалистично. Но да се уцели една огромна повърхност е съвсем осъществима задача. Вероятността за успех се увеличава драстично. Авторите доказват, че за почти всяка начална последователност от завъртания винаги има такъв множител λ, който ще доведе крайното завъртане точно до 180 градуса. Това означава, че вторият такъв цикъл ще върне системата у дома.

Как се доказва това?

Този резултат се основава на строга математика. Изследователите използват формулите на Родригес, които описват състава на ротациите, и свеждат задачата до решаването на тригонометрично уравнение. Те е трябвало да докажат, че винаги е възможно да се намери такава стойност на λ, че полученият косинус на ъгъла на завъртане да стане нула (което съответства на ъгъл от 180 градуса).

Като използвали теоремата на Минковски от областта на геометрията на числата, те показали, че такова решение почти винаги съществува. Всъщност търсенето на правилната λ се превръща в т.нар. диофантова задача – търсене на целочислени решения, които удовлетворяват определени условия. А теоремата гарантира, че тези решения съществуват.

Дали това ще работи и в други измерения?

Това движение е уникално свойство на нашия триизмерен свят. Авторите отбелязват, че то престава да работи в пространства с четири или повече измерения.

Причината е нарастващата сложност на природата на самото въртене. В по-големите измерения въртенето не се извършва около една ос, а едновременно в няколко независими равнини. За да се обезсили такова многокомпонентно въртене, трябва да се погасят няколко ъгъла едновременно. Един общ множител λ вече не е достатъчен за това. Ще е необходим отделен контролер за всяка равнина на въртене.

В крайна сметка имаме работа с фундаментално геометрично свойство. Сложната, хаотична последователност от завъртания в 3D пространството съдържа скрита възможност за зануляване. Просто трябва да се улучи правилно мащабът и да се остави всичко да протече два пъти. Това е контраинтуитивно, но математически неизбежно. Това ще помогне да се намерят нови подходи за прецизно управление на света на квантово ниво.