Как се обяснява турбулентността? Хвърлете две патета в реката и ще получите отговора на уравнението на хилядолетието

Математиците за първи път строго доказаха хипотезата отпреди един век за природата на турбулентността. Историята на това откритие започва в един есенен ден на 1906 година, когато 200 000 парижани се събират в центъра на града, за да наблюдават старта на най-престижното състезание с газови балони. 16 от най-добрите балонисти от седем държави трябвало да прелетят възможно най-голямо разстояние, като контролират летателните си апарати само с помощта на вентил за освобождаване на водород.

Жълтите и кехлибарените балони, високи повече от 15 метра се издигнали във въздуха при пълно спокойствие. След залез слънце обаче, когато зрителите се разотишли, времето се променило драстично и силните ветрове изпратили балоните през Нормандия и Ламанша в Англия.

Балонистите несъзнателно стават участници в експеримент, който променя хода на математическата физика. Почти 20 години по-късно квакерският учен Люис Фрай Ричардсън открива таблица с координати на кацане на балони в списанието The Aeronautical Journal. Той сравнява тези данни с наблюденията си върху разпространението на вулканична пепел и полета на семена от глухарче.

Ученият математически описал изненадваща закономерност: в турбулентен поток разстоянието между две частици не нараства равномерно, а все по-бързо.

Нещо повече, скоростта на това разсейване се подчинява на специална математическа формула – ако разстоянието между частиците се умножи по куб, получената стойност е пропорционална на времето на тяхното движение. С други думи, ако пуснете две гумени патета в реката, след един час те ще бъдат десетки пъти по-далеч едно от друго, отколкото предвижда обичайният закон за дифузията.

Причината се крие в специален механизъм на пренос на енергия: големите вихри не просто пренасят обекти, а предават кинетичната си енергия на по-малки вихри, те – на още по-малки, създавайки ефекта на ускореното разсейване. Това явление, наречено супердифузия дълго време не се поддаваше на строго математическо описание: уравненията, описващи взаимодействието на вихри от различни мащаби се оказаха твърде сложни дори за съвременните методи за анализ.

Турбулентността все още озадачава човечеството. Формулите, създадени преди 200 години, за да опишат движението на течности и газове безупречно предсказват поведението на спокойни потоци. При турбулентен поток обаче средата се разкъсва на големи вихри, които пораждат каскада от все по-малки копия. Този процес продължава, докато размерът на вихрите не достигне молекулярно ниво, където триенето спира по-нататъшното раздробяване. Взаимното влияние на различните по мащаб кръгови потоци създава хаос, който не се поддава на точни изчисления.

Физиците са успели да определят някои от свойствата на турбулентността чрез анализ на данни и провеждане на компютърни симулации. Математическият институт „Клей“ предлага награда от един милион долара за решаването на загадката на турбуленцията. Проблемът дори е включен в списъка на седемте „Предизвикателства на хилядолетието“ – най-важните нерешени въпроси в математиката, всеки от които би могъл да допринесе значително за развитието на науката.

Това се променило миналата година, когато международен екип от математици за първи път строго доказа, че частиците в опростен модел на турбулентен флуид наистина се разпространяват по предсказуем начин, но аномално бързо.

„Мисля, че това ще остане като един от най-значимите успехи в математиката на турбулентността.“

отбелязва Влад Викол от института „Курант“ към Нюйоркския университет, който не е участвал в изследването

За Скот Армстронг, един от авторите на статията, обаче резултатът е много по-важен. През последното десетилетие той разработва един малко известен математически метод, наречен хомогенизация. Този метод позволява да се анализират сложни физически системи, като се откриват скрити закономерности в хаотичното им поведение. Същността на подхода се състои в разделянето на изследвания процес на микроскопично и макроскопично ниво. Ако една система изглежда неорганизирана в малки мащаби, хомогенизацията помага да се разкрият прости правила на нейното поведение, когато се гледа „отдалеч“.

Колегите му бяха скептично настроени към възможностите на тази техника, като смятаха, че тя е приложима само за най-простите проблеми. Заслужава да се отбележи, че самият изследовател е стигнал до откритието си случайно: докато изучавал структурата на металите, той забелязал, че хаотичното подреждане на атомите на микроравнище създава подредени свойства на материала като цяло.

Преди работата на Армстронг хомогенизацията се е прилагала само за системи с незначителни случайни отклонения от средното състояние. Ученият предлага концепцията да бъде подобрена, така че да може да се справя с много по-големи колебания. Идеята е първо да се открие ред в най-малкия мащаб, след това да се използват тези закономерности, за да се разбере следващото ниво на организация и т.н. Този йерархичен подход би могъл да позволи дори много хаотични природни явления да бъдат описани математически.

За да изпробва теорията си, той решава да се обърне към турбуленцията (необходима му е задача, която да изненада колегите му). През 20-те години на миналия век Ричардсън описва механизма на пренос на енергия в турбулентните потоци: мощните атмосферни вихри предават силата си на по-малки образувания, създавайки каскада от движения до молекулярно ниво, където енергията се превръща в топлина.

През 80-те години на 20-и век физиците създават опростен математически модел на явлението. Те запазват основните свойства на турбулентния поток, но го описват с по-прости уравнения. Използвайки ренормализация, изследователите потвърждават съществуването на супердифузия в такава идеализирана система.

Самият метод обаче, както се изразява Ричард Файнман, дава верни резултати без строга математическа обосновка. Армстронг предположил, че подобрена техника ще помогне за доказване на предположението.

Заедно с Туомо Кууси и Ахмед Бу-Раби той разработва нов подход към проблема. Моделът на флуида бил разделен на малки клетки и било изследвано колко дълго частиците се задържат във всяка от тях. В някои зони потокът бързо пренасял частиците, докато в други локални кръгови движения забавяли движението им.

Разликата в поведението на съседните участъци била огромна – точно този вид хетерогенност, която обикновено прави хомогенизацията неприложима. Въпреки това групата предположи, че разглеждането в малко по-голям мащаб би направило картината по-подредена. Идеята противоречи на интуицията на други математици, които смятат, че увеличаването на мащаба само ще направи системата по-хаотична.

Математиците нарисували по-голяма мрежа, в която всяка клетка включвала по няколко квадратчета от първоначалното оформление. Картината се променила: малките вихри, които преди били разделени от границите на клетките, сега били групирани заедно, което се отразило на средното време на престой на частиците в увеличените квадрати.

Изчисленията изисквали невероятна точност. Изследователите проследили как поведението на течността във всяка клетка влияе на вероятното движение на частиците. След щателен анализ те установили, че в по-голяма мрежа разликите между съседните стойности намаляват. Процесът се повтарял отново и отново, като се преминавало към все по-големи структури, докато не се доказало: на определено ниво, макар и относително малко, флуидът започва да се държи достатъчно предсказуемо, за да може да се приложи стандартната хомогенизация.

„От математическа гледна точка това изглеждаше невъзможно.“

коментира Влад Викол

Трябвало да го направят отново и отново безкраен брой пъти. Доказателството съдържа повече от 300 страници с изчисления и отнема почти две години работа.

Когато станало възможно да се приложат класическите методи, математиците имали достатъчно информация за поведението на флуида в големи мащаби. Те потвърдили, че две частици, хвърлени в потока, наистина се разлетяват една от друга според уравнението на дифузията. В същото време скоростта на разпръскване точно съвпадала с прогнозите на физиците, направени преди десетилетия.

Резултатите от изследването, публикувани в две статии за пръв път обясняват математически удивителното свойство на турбулентните потоци: способността им невероятно ефективно да разпръскват обекти в пространството. Точно това е явлението, което Ричардсън наблюдава преди век, когато изучава разпределението на балони над Европа.

Усъвършенстваният метод открива нови перспективи едновременно в няколко области на науката. На първо място, той ще помогне за по-доброто разбиране на естествената турбулентност: как се образуват ураганите, защо се появяват въздушни ями при полет на самолетите, как се разпространява замърсяването в атмосферата и океаните.

Във физиката на елементарните частици, където за първи път се появи техниката на ренормализация, хомогенизацията ще позволи по-точно описание на взаимодействията в квантовия свят. Това е от решаващо значение за разработването на квантови компютри и създаването на нови материали с определени свойства.

Навсякъде, където има сложни системи с взаимодействия в различни мащаби, новият подход може да разкрие скрити модели. Той може да намери приложение и в биологията за изучаване на колективното поведение на клетките, в климатологията за създаване на по-точни модели на времето и в космологията за разбиране на формирането на галактиките.