„Шапката“, която покори математиката: Как хобито на един ентусиаст реши 50-годишна геометрична загадка

През ноември 2022 година в математическата общност се случи невероятно събитие, което постави началото на нов етап в изучаването на теорията на подреждането. Един от изследователите, работещи по различни геометрични проблеми, получава писмо от Дейвид Смит, който в свободното си време е запленен от формите и техните свойства. Смит изпратил една необичайна фигура, която нарекъл „шапка“.

Външно незабележителна, тази фигура се оказва ключът към решаването на проблем, който дълго време се считал за нерешим.

Смит, който живее в Йоркшир, Англия се занимава с геометрия като хоби. Той не е професионален математик, но страстта му към изследване на форми и модели го довежда до откриването на „шапката“. Заинтересован, Смит започва да изучава свойствата ѝ и скоро разбира, че тази форма не се поддава на традиционната класификация: тя не може лесно да покрие равнина с повтарящ се модел, но не попада и в категорията на фигурите, които изобщо не могат да покрият равнина.

Изненадан и озадачен, Смит се свързва със свой колега, за да обсъди откритията си. Скоро към тях се присъединяват още двама изследователи – Хаим Гудман-Строс, математик с опит в теорията на подреждането и Джоузеф Самюъл Майерс, разработчик на софтуер и експерт по геометрия.

Заедно те продължили изследването на „шапката“ и за рекордно кратко време доказали, че тя е апериодичен монотайл – фигура, която може да покрие равнина без повторение, т.е. без да създава периодичен модел.

Апериодичните подреждания са обект на интерес от страна на математиците от 60-те години на миналия век. Първите такива подреждания са открити с помощта на големи множества от фигури, но проблемът е бил да се намери един-единствен елемент, който да изпълнява такава функция. Доскоро бяха известни само множества от няколко фигури, способни да създават апериодични подреждания, като например известните плочки на Пенроуз. Въпреки това проблемът за намиране на единична фигура, която може да подрежда апериодично равнина, остава нерешен повече от 50 години.

И така, през 2023 година, благодарение на усилията на Смит и неговите колеги беше доказано, че „шапката“ наистина е апериодична монолитна плочка, известна още като „айнщайн“ (което е игра на думи от немското „ein stein“, което означава „един камък“). Това откритие предизвика фурор в математическата общност, тъй като дълго време се е смятало, че такава фигура може изобщо да не съществува.

В процеса на изследването се оказа, че „шапката“ се състои от осем „хвърчила“ – части, които могат да се получат чрез разрязване на правилен шестоъгълник на шест равни части. Тези „хвърчила“ се различават от известните плочки на Пенроуз, но имат удивително свойство: те могат да образуват сложни модели, които никога не се повтарят.

Математиците разработват и правила за заместване на „шапката“, които им позволяват да конструират стекове, доказващи апериодичността на тази форма. С всяко ново откритие изследователите укрепвали своето доказателство и накрая, през януари 2023 година те успели да завършат доказателството, че „шапката“ наистина е апериодичен монотайл.

Но историята не свършва дотук. През декември 2022 година Смит открива друга форма – „костенурка“, която също се оказва апериодична. След по-задълбочено проучване се оказало, че „шапката“ и „костенурката“ са две форми от цяло семейство апериодични фигури. Тези фигури могат да бъдат модифицирани, като запазват свойствата си, което открива още повече възможности за изследване.

Тези открития предизвикаха голям интерес не само в научната общност, но и сред художниците и дизайнерите. Новите фигури бързо станаха популярни сред създателите на пъзели и декоративни елементи. Изследователите публикуват работата си през март 2023 година и тя е широко призната, въпреки че продължава да бъде обект на научно изследване.

В заключение си струва да отбележим, че макар задачата за намиране на апериодичен монотайл да се е смятала за практически нерешима, страстта и любопитството на един ентусиаст са довели до пробив, който е разширил границите на нашето разбиране за геометрията и подреждането. Откриването на „шапката“ и свързаните с нея фигури не само решило отдавнашен математически проблем, но и вдъхновило ново поколение изследователи и математически ентусиасти да направят нови открития.