Новото поколение математици разкриха нова глава в изучаването на простите числа

Преди повече от 2000 години гръцкият математик Ератостен е разработил метод за намиране на прости числа, наречен „ситото на Ератостен“ (на някои места решетото на Ератостен), който е валиден и до днес. Идеята му е да определи простите числа до даден етап, като постепенно „отсява“ тези, които не са такива. Елиминирането започва със зачеркването на всички числа, делящи се на 2 (с изключение на самото 2), след това на делящи се на 3 (с изключение на 3). Следващото число, 4, вече е зачеркнато, така че следващата стъпка е да се зачеркнат всички числа, делящи се на 5, и така нататък. Всички останали най-накрая числа се считат за прости, т.е. такива, които се делят само на 1 и на себе си.

Ератостен е работил с целия набор от прости числа, но вие можете да използвате варианти на неговия метод, за да намерите такива, които ще имат специални свойства. Искате да намерите „близнаци“, които се различават само с 2 единици, като 11 и 13 или 599 и 601? Има сито за това. Интересувате се от простите числа, които са с 1 единица повече от пълния квадрат, като 17 или 257? Има отсяване и за това.

Съвременните методи за отсяване са катализирали големи открития в теорията на числата – от Великата теорема на Ферма до недоказаната досега хипотеза за двойките прости числа, според която съществуват безкраен брой двойки такива близнаци. Методите на отсяване, описани от унгарския математик Пол Ердос през 1965 г., „са може би най-мощният елементарен инструмент в теорията на числата“.

Въпреки че тази сила е ограничена от степента, в която математиците разбират как се разпределят простите числа по оста на числата. Не е трудно да се извърши отсяване в рамките на малко число, например до 100. Но математиците искат да разберат как работи процесът на отсяване за по-големи числа. И те не могат да изведат всички числа, оставащи след отпадането, до някаква крайна стойност. Вместо това те се опитват да преценят колко числа приблизително ще попаднат в този списък.

В случая с отсяването на Ератостен тази оценка ще зависи от това колко често целите числа се делят на 2, 3, 5 и т.н. Тази информация е сравнително лесна за разбиране и получаване. Ако става дума за по-сложни схеми, както в случая с близначните прости числа, най-важната информация често е свързана с остатъците от деленето на простото число на различни числа. Така например, колко често разделянето на едно просто число на 3 дава остатък от 1? Или остатък от 8 при делене на 15?

Напредвайки все повече по числовата ос, тези остатъци се подреждат в статистически предсказуеми модели. През 1896 г. белгийският математик Шарл Жан дьо ла Валие-Пусен доказва, че остатъците постепенно се изравняват – например, ако поставите простите числа в една от две кошници в зависимост от остатъка при деление на 3 – 1 или 2 – накрая ще получите приблизително еднакво количество числа в двете кошници. Но за да се разкрие пълният потенциал на методите за отсяване, не е достатъчно математиците да знаят, че съдържанието на кошниците постепенно се изравнява, те трябва да разберат и как става това.

Изясняването на това се оказа трудно. След два големи пробива – през 60-те и 80-те години на миналия век – новите изследвания до голяма степен затихнаха. Поразително изключение настъпи през 2013 г., когато Итън Джан публикува своето историческо доказателство за съществуването на безкрайно множество от двойки прости числа, които са по-близо едно до друго, отколкото до някаква крайна граница. Но в основната научна работа, представена през 80-те години на ХХ век, в продължение на над 30 години така и нямаше осезаем напредък.

Сега обаче и именно тази тематика преживява ренесанс, подхранван от поредица от три статии, написани от оксфордския математик Джеймс Мейнард през 2020 г. (две години преди той да спечели Филдсовата награда – най-високото отличие в областта на математиката, аналогична на Нобеловата награда). Мейнард анализира число, наречено „ниво на разпределение“, което отразява колко бързо остатъците от делене на прости числа достигат равномерно разпределение по така наречените кошници (понякога с помощта на специфични методи за елиминиране). За редица типични методи той показа, че нивото на разпределение е поне 0,6, с което надмина предишния рекорд от 0,57, поставен през 80-те години на ХХ век.

„Работата на Мейнард и последвалите изследвания, подхранвани от нея, „вдъхват нов живот на аналитичната теория на числата. – казва Джон Фридлендър от Университета в Торонто, който е участвал в изследванията, проведени през 80-те години. – Това е истинско възраждане“.

През последните няколко месеца тримата бивши студенти на Мейнард публикуваха статии, в които разширяват резултатите, получени от Мейнард и Жанг. Една от тях, написана от Джаред Дюкер Лихтман (сега постдокторант в Станфордския университет), разширява установеното от Мейнард разпределение до 0,617. Използвайки това увеличение, Лихтман впоследствие изчислил по-точни горни граници на броя на двойните прости числа до установената крайна точка, както и броя на “ представянията на Голдбах“. – Представяния на четните числа като сума от две прости числа.

Увеличението от 0,6 на 0,617 може да изглежда малко за хората, които не са запознати с теорията на числата. Но в теорията на отсяването Гранвил казва, че „понякога тези скромни победи могат да имат поразителни последици“.

Включване и изключване

За да преценят колко числа са елиминирани до крайната точка N, математиците използват подход, основан на т.нар. включване/изключване. За да го разберем, нека разгледаме елиминирането (отсяването) на Ератостен. Той започва с премахването на всички числа, делящи се на 2, което е около половината от числата до N. След това се отстраняват всички стойности, делящи се на 3 – още около 1/3 от всички числа до N.

И тук може да си помислите, че до този момент сте отстранили около 1/2 + 1/3 от всички числа до стойността N. Но това е надценяване, тъй като преброявате двойно числата, които са кратни на 2 и 3 (кратни на 6). Те са около 1/6 от целия диапазон до N, така че, за да компенсирате това двойно броене, трябва да извадите 1/6, като получите общата формула 1/2 + 1/3 – 1/6.

Сега можем да преминем към числата, които се делят на 5 – така че добавяме още 1/5 към общата сума, но тук трябва да извадим 1/10 и 1/15, за да отчетем повторенията на числата, които се делят на 2 и 5 или на 3 и 5. И дори това не е всичко – случайно сме преброили двойно повторенията, които се делят на 2, 3 и 5. За да поправим тази неточност, ще трябва да прибавим 1/30 към общото число, като получим формулата 1/2 + 1/3 – 1/6 – 1/10 – 1/15 + 1/30.

С продължаването на този процес във формулата се появяват все повече и повече членове, включително дроби с нарастващи знаменатели. За да се премахне ненужното натрупване на малки грешки в приблизителните оценки като „около 1/2“ и „около 1/3“, теоретиците обикновено спират процеса на събиране и изваждане, преди да е преминало цялото отсяване, и се ограничават до горните и долните граници вместо до точния отговор.

Теоретично аналогичен процес би трябвало да работи и за по-сложните множества от прости числа като двойните прости числа. Но когато става въпрос за нещо подобно, включването/изключването няма да работи, освен ако не знаете колко равномерно са разпределени остатъците от делението в условните кошове.

За да се убедите в това, помислете как би могло да функционира пресяването на простите двойки. Можете да започнете, като използвате метода на Ератостен, за да намерите всички опростени двойки до стойността N. След това извършвате втори кръг на изчистване, като премахвате всички опростявания, които не са част от двойка близнаци. Един от начините да направите това е да изхвърлите едно просто число, ако числото на две стъпки вляво от него също не е просто (можете да анализирате и две стъпки вдясно). Като използваме пресяване наляво, запазваме простите числа като 13, тъй като 11 също е просто число, но елиминираме такива като 23, тъй като 21 вече не е просто число.

Можете да си представите този процес като преместване на множеството на простите числа с две единици наляво, придружено от зачеркване на всички числа в преместеното множество, които не са прости (например 21). В изместеното множество се зачеркват числата, които се делят на 3, след това се делят на 5 и т.н. (Не е нужно да се притеснявате за числата, делящи се на 2, тъй като в изместеното множество всички числа, освен първото, са нечетни).

След това идва включването/изключването, което ви позволява да прецените колко числа сте елиминирали. При отсяването на Ератостен зачеркването на числата, делящи се на 3, води до премахване на около 1/3 от всички числа. Но в по-малкия набор от разместени прости числа е по-трудно да се предвиди колко ще бъдат премахнати чрез зачеркване на кратни на 3 числа.

Новите световни рекорди

Въпреки това в много задачи за отсяване е възможно да се постигне успех дори с ограничено разбиране на начина, по който простите числа се разпределят във въпросните кошове. Да вземем например задачата за двойното просто число: елиминирането на едно просто число, ако числото, което се намира две единици вляво от него, се дели на 3, 5 или 7, е равносилно на въпроса дали самото просто число дава остатък от 2, когато се раздели на 3, 5 или 7. С други думи, дали простото число попада в кошницата „2“ при всяко от тези деления. Така че не е необходимо да се знае дали опростените елементи са разпределени равномерно във всички кошове при тези делители – необходимо е само да се разбере дали всеки кош „2“ съдържа очаквания брой опростени елементи.

През 80-те години на миналия век математиците започват да търсят начин да доказват теоремите за разпределение, които се фокусират върху една конкретна кошница. Кулминацията на тази работа е през 1986 г. в работата на Бомбири, Фридландер и Хенрик Иванек, които показват, че са постигнали разпределение 4/7 (около 0,57) за единични кошници, като са използвали, макар и не всички видове пресяване, много от тях.

Както и при теоремата на Бомбиери-Виноградов, идеите, които се развиха през 80-те години, намериха много приложения. Най-забележителното е, че те позволиха на математиците да постигнат значителен напредък в разбирането си за Великата теорема на Ферма. Тази теорема гласи, че уравнението an + bn = cn няма решения с прости числа за всеки експонент n, по-голям от 2. (Това беше доказано през 1994 г. с помощта на техники, които не разчитат на теореми за разпределение). Въпреки това, след рязкото нарастване през 80-те години на миналия век, в продължение на няколко десетилетия нямаше съществен напредък в разбирането на нивото на разпределение.

Резултатите на Джан се основават на една от версиите на хипотезата на Риман, произхождаща от света на алгебричната геометрия. По този начин работата на Бомбири, Фриландер и Иванец разчита на това, което Мейнард описва като „някаква магическа връзка“ с обекти, наречени автоморфни форми, които имат своя собствена версия на хипотезата на Риман. Автоморфните форми са силно симетрични обекти, за които Тао казва, че принадлежат към „най-значимата страна на теорията на числата“.

Тези изследвания са много важни, понеже простите числа масово се използват в природата и в нашия живот.  Те са в основата на жизнените цикли на цикадите, производителите на часовници ги използват за определяне на точността, а в авиационните двигатели се използват за балансиране честотата на въздушните импулси. Но всичко това бледнее пред един безспорен факт, който е добре известен на всеки криптограф: простите числа изграждат сърцето на съвременната информационна безопасност и носят директна отговорност за защитата на всичко.