Спорът в замъка Уиндзор от XVII век: може ли куб да премине през куб със същия размер? (видео)

Какво представлява кубът на принц Рупърт и как математиците разбиха една 350-годишна хипотеза?

Представете си, че в ръцете си държите два еднакви куба за игра. Възможно ли е да пробиете в единия от тях толкова широк отвор, че през него да премине другият куб със същия размер? Интуицията ви подсказва, че това е невъзможно: изглежда, че геометрията не би го позволила. Но точно този въпрос е бил предмет на необичаен спор през XVII век – и той е завършил с неочакван резултат.

В края на 1600 г. един остроумен събеседник спори с принц Рупърт Пфалцки, племенник на английския крал Чарлз I и командир на монархическите сили по време на Гражданската война. По това време принцът вече се бил оттеглил и прекарвал дните си в своята работилница в замъка Уиндзор, където леел метали и стъкло. Предмет на дебата е бил въпросът дали един куб може да бъде пробит, за да се образува тунел, през който да премине друг куб със същия размер. За изненада на съвременниците си Рупърт доказал, че това е възможно – и спечелил залога.

Математикът Джон Уолис, който описва историята през 1693 г., не уточнява дали принцът е провел реален експеримент, или се е ограничил само с предположения. Но самият Уолис дава строго математическо доказателство: ако пробиете дупка по вътрешния диагонал на куба, тя може да бъде достатъчно широка, за да премине друг куб със същия размер. Разликата е минимална – струва си да увеличите втория само с четири процента и той няма да премине. Този резултат се превърна в класика в геометрията и влезе в историята като Кубът на принц Рупърт.

Оттогава насам математиците неведнъж са се питали какви други тела имат това свойство. Най-често са разглеждани изпъкналите многостенни тела – фигури с плоски повърхности без издатини или вдлъбнатини. За издължените фигури е лесно да се направи тунел, но симетричните тела като додекаедъра или пресечения икосаедър – същият, който прилича на футболна топка – се оказват много по-трудни. В продължение на няколко столетия именно кубът на принц Рупърт остава единственият известен пример. Едва през 1968 г. германският изследовател Кристоф Шкриба доказва, че тетраедърът и октаедърът също имат това свойство.

През последните десетилетия развитието на изчислителната геометрия позволи да се открият подобни преходи и за други фигури – икосаедър, додекаедър и пресечен икосаедър. С течение на времето математиците са предполагали, че всяка изпъкнала фигура допуска такъв тунел. И дълго време никой не можеше да открие изключения – докато през 2025 г. не се появи първото опровержение.

Австрийските изследователи Якоб Щайнингер от Федералната статистическа служба и Сергей Юркевич от инженерната компания A&R Tech са открили тяло, което нарушава канона. В статия, публикувана през лятото, те описват полиедър с 90 върха и 152 стени и доказват, че за всяка посока на проходния канал вторият екземпляр на тази фигура не може да премине през първия. Това е първият известен случай на полиедър, лишен от свойство, аналогично на Куба на принц Рупърт.

За да стигнат до това заключение, изследователите е трябвало да съчетаят строги изчисления и мащабни компютърни проверки. Специалната подредба на върховете на фигурата им създава уникално равновесие, което прави всички потенциални проходи твърде тесни. Според Щайнингер самият факт, че съществува такъв контрапример, изглежда почти като чудо.

За да разберем как един куб може да премине през друг, нека си представим сянката му върху маса. Ако държите фигурата в обичайното ѝ положение, проекцията е квадрат. Но завъртете куба така, че горната му част да е обърната нагоре, и сянката ще се превърне в правилен шестоъгълник. Уолис показа, че един квадрат се побира изцяло в този шестоъгълник – което означава, че ако пробиете канал по диагонала, втория куб може да се промуши през първия. Век по-късно холандският математик Питер Нойланд изчислява още по-благоприятна ориентация: в отвора се побира куб, който е с 6% по-голям от първоначалния куб.

По-нататъшните изследвания се основават на същия принцип: геометри завъртат фигури под различни ъгли и анализират как една проекция се вписва в друга. С появата на изчислителните методи тази идея се превърна в отделна област, в която алгоритмите преглеждат милиони позиции и търсят съвпадения на сенките. В някои случаи съвпадението е толкова прецизно, че разликата между лицата е по-малка от една милионна част от радиуса на фигурата. Комбинирането на дискретната геометрия с компютърните изчисления е направило възможни такива прецизни измервания, казват експертите.

Въпреки това някои фигури упорито отказват да пропуснат своите копия. Един от най-трудните случаи е ромбикозидодекаедърът – тяло с 62 страни, съставено от триъгълници, квадрати и петоъгълници. Алгоритмите са тествали милиони позиции, но така и не е намерен подходящ тунел. Липсата на решение обаче не е доказателство за невъзможност: компютърът може да провери само краен брой варианти, а възможните ориентации са почти безкрайно много.

За да се докаже окончателно, че фигурата няма свойство, подобно на Куба на принц Рупърт, е необходимо да се изключат всички позиции, при които би могла да се появи подходяща конфигурация. Всяка от тях се описва с набор от ъгли, а тяхната съвкупност образува така нареченото параметрично пространство. Ако не съществува тунел за което и да е множество от ъгли, задачата е решена.

Щайнингер и Юркевич разделят това пространство на милиони малки области и проверяват всяка от тях с помощта на програма. Когато се оказва, че сянката на втората фигура надхвърля първата, те изключват не само конкретната точка, но и околността около нея. Те нарекоха тази техника глобална теорема – тя им позволява незабавно да отхвърлят цели блокове от ориентации, при които преминаването е невъзможно. Но при малки премествания на фигурите границите почти съвпадат и изключените области стават твърде малки, за да обхванат цялото пространство.

За да се справят с подобни ситуации, изследователите извеждат локална теорема. В нея се разглеждат три върха на границата на проекцията и се анализира как се променя положението им при завъртания. Ако свържете тези точки и полученият триъгълник включва центъра на сянката, тогава всяко по-нататъшно преместване ще доведе до преместване на поне един от върховете навън. Следователно новата проекция не може да се вмести напълно в старата и няма как да се образува тунел.

След проверка на стотици известни полиедри се оказа, че нито един от тях не удовлетворява условията на двете теореми. Тогава учените решили сами да конструират фигура с необходимите свойства. С помощта на алгоритъм, който генерира модели и ги проверява за „правилото за трите върха“, те успели да създадат тяло, състоящо се от 150 триъгълника и два правилни 15-ъгълника. Формата му наподобява заоблен кристал с удължен връх и основа. Един ентусиаст вече е отпечатал копие на тази фигура на 3D принтер и го използва като поставка за моливи.

След това изследователите разделили цялото пространство на 18 милиона клетки и тествали всяка от тях. В нито една от тях не се получила конфигурация, при която втора фигура да може да премине през първата. След това те доказали, че всяка клетка отговаря на условията на една от теоремите и заедно те покриват цялото пространство от ориентации. Това означава, че за тази фигура изобщо не съществува тунел. На находката е дадено името Noperthedron – от английските думи Rupert (в чест на принц Рупърт, с когото започва историята на проблема) и nope („не“), намеквайки, че фигурата е лишена от свойството на Рупърт.

По този начин дългогодишната хипотеза, че всички изпъкнали тела притежават свойството на принц Руперт, се оказва невярна. Сега изследователите са изправени пред ново предизвикателство – да разберат дали има и други изключения и дали могат да бъдат разработени универсални методи за тяхното откриване.

Интересът към тази тема обединява както професионални математици, така и ентусиасти. Един от тях, инженерът от Google Том Мърфи, се шегува, че дори извънземните, ако са запознати с геометрията, рано или късно биха решили проблема.

Щайнингер и Юркевич са приятели от младини – запознават се на международни олимпиади и оттогава са запалени по математиката. Въпреки че и двамата отдавна работят извън университетите, те продължават да решават геометрични загадки в свободното си време. Тяхната упоритост е довела до откритие, което е променило представите за пространствените форми.

Учените са уверени, че предстоят още много изненади: сред многото малко познати полиедри може да се крият нови фигури, които не позволяват преминаване през себе си. Междувременно намерената от тях форма остава единственият известен пример, който опровергава предишното убеждение и показва, че дори в строго проверения свят на математиката има място за неочакваното.