Шах и мат за хаоса: математици откриха универсалния код за всички течности във Вселената

Как шепотът на молекулите се превръща в рев на морските течения с помощта на една формула.

В началото на XX век математиката и физиката се развиват до голяма степен независимо една от друга. Физиците откриват нови природни закони, а математиците създават абстрактни теории и връзката между тези области на науката не винаги е била очевидна. През 1900 г. на Международния конгрес на математиците в Сорбоната в Париж Дейвид Хилберт изказва идея, която би могла да промени баланса на силите. Той представя списък от десет фундаментални проблема, по-късно разширен до двадесет и три, чието решение не само ще доведе до напредък в математиката, но и ще засили връзката ѝ с реалния свят.

Шестият проблем от списъка на Хилбърт засяга самите основи на физиката. Ученият предложил да се намери минимален набор от математически правила, от които да се изведат всички известни закони на природата – от движението на най-малките частици до поведението на космическите обекти. Този подход е наречен „аксиоматизация на физиката“. С други думи, Хилберт е искал да открие най-основните математически принципи, лежащи в основата на всички физични явления, точно както няколко аксиоми в геометрията могат да се използват за извеждане на всички теореми за свойствата на фигурите.

Като първа стъпка към решаването на тази огромна задача Хилбърт се обръща към работата на австрийския изследовател Лудвиг Болцман. Болцман се опитвал да обясни как наблюдаваните свойства на газовете – налягане, температура и топлопроводимост – се пораждат от хаотичното движение на отделните молекули. Този пример илюстрира как явленията в микрокосмоса могат да се свържат с това, което наблюдаваме в ежедневието.

Повече от век по-късно, съвсем наскоро, група американци – Ю Денг от Чикагския университет, Захер Хани и Сяо Ма от Мичиганския университет – направиха важна стъпка към решаването на проблема на Хилберт. Те се съсредоточиха върху изучаването на течностите, чието движение може да се опише по три различни начина, в зависимост от това колко отблизо ги разглеждаме.

Представете си, че наблюдавате капка вода. Ако я погледнете с невъоръжено око, виждате само статична, прозрачна течност. Но под микроскоп същата тази капка изглежда като множество отделни молекули в постоянно движение. Тези две гледни точки към едно и също вещество са довели до различни математически описания на неговото поведение.

На най-близко, микроскопично ниво, течността е множество частици, като малки билярдни топки. Те се движат по законите, открити от Нютон: сблъскват се помежду си, отскачат, променят посоката си. За всяка отделна частица може да се изчисли точната траектория, като се знаят началната ѝ скорост и позиция. Но в една капка вода има трилиони такива частици и дори за най-мощните компютри е почти невъзможно да проследят активността на всяка от тях.

За да преодолее тази трудност, през 1872 г. Лудвиг Болцман измисля гениално решение. Вместо да следи всяка частица, той създава уравнение, описващо поведението на „типичната“ частица – осреднено за целия набор от молекули. Този подход, наречен мезоскопичен (т.е. междинен между микро- и макроравнището), дава възможност да се изчислят важни характеристики на флуида, като топлопроводимост и вискозитет, без да се навлиза в детайлите на движението на отделните молекули.

На най-голямото, макроскопично ниво, флуидът (течността) се разглежда като непрекъсната среда, без да се взема предвид молекулярната му структура. В този случай са валидни уравненията, открити от математиците Леонхард Ойлер и Клод-Луи Навие, заедно с Джордж Стокс. Те дават възможност да се изчисли движението на водните и въздушните течения в мащаби, вариращи от движението на кръвта през съдовете до циркулацията на въздушните маси в атмосферата. Именно тези формули се използват от инженерите при проектирането на самолетите и от метеоролозите при изготвянето на прогнозите за времето.

Логиката изисква и трите начина за описание на флуида да са взаимосвързани – в крайна сметка те описват една и съща реалност. Законите за движението на отделните молекули трябва да водят до уравнението на Болцман, когато се разглежда тяхното усреднено поведение, а уравнението на Болцман на свой ред трябва да обяснява законите за движението на флуида като цяло. Въпреки това математиците дълго време не успяваха да докажат категорично тази връзка.

Основната трудност се състои в това да се вземат предвид дълги интервали от време. В една течност всяка молекула претърпява огромен брой сблъсъци и въздействието на всеки сблъсък влияе върху по-нататъшната ѝ „съдба“. С увеличаване на времето за наблюдение броят на тези взаимодействия нараства лавинообразно.

Работата на екипа от Чикагския университет и Мичиганския университет доведе до създаването на принципно нов начин за анализ на взаимодействията между частиците на течността. Те разработиха математически метод, който взема предвид цялата история на движението на всяка частица – от първия до последния сблъсък. Трудността се е състояла в това, че всеки нов сблъсък на частиците променя техните траектории, създавайки безкрайна верига от взаимосвързани събития. Учените успели да докажат, че кумулативният ефект от всички минали сблъсъци остава ограничен и предсказуем дори след дълго време.

При изготвянето на доказателството изследователите избрали необичаен път: те взели предвид мисловен експеримент, при който броят на частиците в течността нараства до безкрайност, а размерът на всяка частица намалява почти до точка. В този краен случай поведението на безкрайния набор от безкрайно малки частици точно съвпада с предвижданията на уравнението на Болцман. За първи път математиците успяха да покажат как законите за движение на отделните молекули пораждат статистически закономерности в мащаба на цялата течност.

Резултатите на екипа допълниха съществуващите доказателства за връзката между уравнението на Болцман и макроскопичните уравнения на Ойлер и Навие-Стокс. Появи се цялостна картина на прехода от движението на отделните молекули към широкомащабните флуидни потоци. Всъщност математиците създадоха универсален език за описание на природата, който работи еднакво добре на всички нива – от микроскопично до макроскопично.

Значението на това откритие далеч надхвърля теорията на флуидите. Разработените методи могат да помогнат за разбирането на други физични явления, при които микроскопичните процеси водят до наблюдаеми ефекти в голям мащаб. Независимо дали става въпрос за квантови ефекти, взаимодействия с елементарни частици или гравитационни полета, съществува необходимост от свързване на различните нива на описание на природата.