Какво би било, ако безкрайността не съществува? Това може да промени всичко – от физиката до смисъла на истината

Финитизмът променя математиката.

Съществуват ли безкрайностите? Този въпрос остава открит дори след хилядолетия. Философите са спорили по него още в древността, а от края на XIX в. той отново става актуален в математиката и физиката.

Преди 2300 години Аристотел разграничава два вида безкрайност: потенциална и действителна. Потенциалната е процес, който може да продължи безкрайно, например броенето: 1, 2, 3 и така нататък. Но в този процес няма краен резултат, наречен „безкрайност“. Действителната безкрайност, от друга страна, е идеята, че съществува безкраен обект като завършено цяло. Тази концепция е отхвърлена от Аристотел.

Дълго време математиците заобикаляха безкрайностите. Но в края на XIX в. Георг Кантор разработва теорията на множествата – първата строга математическа система, която се занимава с безкрайните величини. Той показва, че безкрайностите могат да бъдат с различни размери. Така например естествените числа са безкрайно много, но реалните числа са още повече. Това може да бъде строго доказано с помощта на сравнение на множества.

По-късно математиците Ернст Зермело и Абрахам Френкел формулират девет аксиоми, на които сега се основава цялата съвременна математика. Сред тях е и аксиомата за съществуването на безкрайни множества. Тази аксиома позволява безкрайностите да се използват в доказателствата и конструкциите. Но именно тя предизвиква множество спорове.

Привържениците на алтернативния подход, т.нар. финитисти, смятат, че безкрайностите не съществуват. Основният им аргумент е, че в реалния свят всичко е ограничено – както изчислителните ресурси, така и физическите процеси. Следователно няма смисъл да се работи с безкрайни обекти. Те предлагат математиката да се изгражда само от това, което може да се конструира еднозначно в краен брой стъпки, като се започне с естествените числа.

Така например числото √2 е дефинирано в термините на безкрайна десетична дроб. Което означава, че то не се счита за валиден обект в системата на финитистите. Същото се отнася и за числото π. Дори да ги описва формула, резултатът пак изисква безкраен брой изчисления.

Отхвърлянето на безкрайностите води до преразглеждане на основните логически принципи. Един от тях е законът за изключеното трето. Той гласи, че всяко математическо твърдение е или вярно, или невярно. Но това не е така във финитовата логика. Ако едно твърдение се отнася за обект, който все още не е конструиран, то може да бъде неопределено. Например твърдението „0,999… = 1“ се превръща в проблем: ако няма безкрайност, тогава не може да се говори за „безкраен брой деветки“ и следователно не може да се докаже, че изразът е равен на единица.

Финитистката математика изглежда по-ограничена и сложна. Ето защо тя има малко привърженици. Но някои физици все още се интересуват от тази идея. Един от тях е Никола Жизин от Женевския университет. Той смята, че физическата реалност е крайна. Според него пространството и времето могат да съдържат само ограничено количество информация. Затова е безсмислено да се използват безкрайни числа или непрекъснати структури за описание на Вселената.

Тези идеи все още не са формализирани в пълноценна теория, но те са важни. В края на краищата съвременната физика е изправена пред въпроси, на които не може да отговори: как се е появила Вселената, какво обединява фундаменталните сили и къде са границите на нашето познание. Може би отхвърлянето на безкрайността е начин да се започне на чисто.

Всичко се свежда до мирогледа. Някои хора смятат, че безкрайностите са реални. Някои смятат, че безкрайностите са просто удобно средство. А някои се стремят към математика, в която такива обекти просто не съществуват.