Историята на най-голямата математическа изненада

През юни 1978 година Роже Апери, френски математик говори на конференция на Френския национален център за научни изследвания за ирационалността на ζ(3). Презентацията му предизвиква сензация: Апери заявява, че е решил проблем, който е останал нерешен повече от 200 години. Не всички обаче повярвали веднага.

Стойността на ζ(3), известна като константата на Апери е специална стойност на Римановата дзета функция. Леонхард Ойлер е работил върху този проблем през 18 век, но въпреки гениалността си не е успял да докаже неговата ирационалност. Роджър Апери, малко известен математик, който тогава е бил на 60 години внезапно заявява, че е решил загадката. Твърдението му, разбираемо било посрещнато с голям скептицизъм.

Първа реакция: Недоверие и съмнение

Лекцията на Апери, изнесена на френски език не убедила веднага публиката. Начинът му на представяне, включващ шеги и пропускане на важни детайли от доказателствата само засилил съмненията. Още в началото на лекцията той записва едно уравнение, което никой от присъстващите не е виждал преди, но което е ключово за неговото доказателство. Когато го попитали откъде е взел това уравнение, Апери отговорил: „Те растат в моята градина“. Тази фраза предизвикала недоумение и много от присъстващите напуснали залата.

Един от участниците обаче носил със себе си електронен калкулатор, което било рядкост по онова време. Той успял бързо да провери уравнението на Апери и да потвърди неговата правота. Това върнало вниманието на публиката към презентацията. Австралийският математик (един от присъстващите) Алфред ван дер Портен по-късно описва работата му като „смесица от чудо и мистерия“.

Доказателството, което промени математиката

На експертите им отнема няколко седмици да се запознаят с доказателството на Апери. Самият математик само усложнява задачата: по време на една среща той изведнъж започва да говори за състоянието на френския език, вместо да обсъжда същността на доказателството. Въпреки това два месеца по-късно стана ясно, че Апери наистина е доказал, че ζ(3) е ирационално число.

Работата му се основава на неизвестно дотогава представяне на ζ(3) чрез редица, която той използва, за да изпълни условието за ирационалност, установено от немския математик Густав Льовен Дирихле през 19 век. Това условие означава, че числото χ е ирационално, ако може да бъде апроксимирано с безкрайно много дроби, но нито една от тях не е равна точно на χ.

История на функцията дзета

Интересът към функцията дзета започва много преди откритието на Апери. През 1644 година италианският математик Пиетро Менголи се опитва да намери сумата от обратните квадрати на всички числа (1 + 1/4 + 1/9 + …). Той не успява да реши задачата, както и много други учени. Близо 90 години по-късно Леонхард Ойлер, който по това време е на 27 години решава задачата, наречена по-късно Базелска задача, и изчислява, че ζ(2) = π²/6.

Ойлер отишъл по-далеч и намерил решение за ζ(s), където s = 2k (четни числа). Той доказал, че за тези стойности резултатът винаги е ирационален. При нечетните стойности обаче, като ζ(3) той се сблъскал с проблеми. Ойлер успял да изчисли първите знаци след десетичната запетая, но не и да определи точната стойност или ирационалността.

Съвременното значение на функцията дзета

През 19 век Бернхард Риман разширява ζ(s) до комплексните числа, което му позволява да формулира известната хипотеза на Риман. Тази хипотеза, свързана с разпределението на простите числа все още е един от най-трудните проблеми в математиката. Тя е от ключово значение за теорията на числата и криптографията, където генерирането на прости числа е в основата на криптирането. Решаването на предположението на Риман ще ви донесе награда от един милион долара.

Въпреки вниманието към функцията зета, значението на ζ(3) остава неразгадана загадка. Значението ѝ нараства през 20 век, когато се появява в изследванията по физика.

Физика и константата на Апери

В средата на 20 век във физиката са разработени квантови теории, които променят из основи представите за природата. Едно от ключовите открития е концепцията за квантовата електродинамика. Според нея дори вакуумът не е празен: в него постоянно възникват краткоживеещи двойки частица-античастица, които мигновено анихилират.

Тези процеси влияят на електродинамичните взаимодействия, например на разсейването на електроните. За да ги опишем, трябва да разгледаме сумата от обратни кубове на числата, т.е. ζ(3). За физични изчисления е достатъчно да се знаят няколко знака след десетичната запетая на ζ(3), но математиците се стремят към по-дълбоко разбиране на числото.

Наследството на Апери

Работата на Роджър Апери доказва ирационалността на ζ(3) и обезсмъртява името му. Сега тази стойност се нарича константа на Апери. Въпреки това проблемите, свързани с ζ(3) не са напълно решени. Математиците се стремят да намерят израз, подобен на този, който Ойлер е намерил за ζ(2), но засега тази мечта остава непостижима.