Каква все пак е геометрията на Вселената

Електронните облаци са полезни с това, че дават възможност за създаването на изключително сложни проекти, включително и виртуален дата център и дори виртуална вселена. Ако се опитаме да визуализираме тези структури, ще се получи една мини вселена. Нека да се позабавляваме с нейната геометрия и да се опитаме да визуализираме различни компютърни модели на нашата Вселена.

В нашето съзнание Вселената е безкрайна. Но с помощта на геометрията можем да разгледаме най-различни триизмерни форми, които са алтернатива на „обикновеното“ безкрайно пространство.

Когато гледаш нощното небе ти се струва сякаш пространството се разширява във всички направления. Това е нашият ментален модел на Вселената, но съвсем не е задължително той да бъде верен. В края на краищата, преди време хората са считали, че Земята е плоска, понеже овалът на нашата планета е твърде трудно да бъде забелязан от нейната повърхност. Нещо повече, никой не се е и сещал да мисли, че Земята може да има сферична форма.

Днес ние знаем, че Земята има формата на сфера. Но в наши дни малко хора се замислят за формата на Вселената. И както сферата стана правилната алтернатива на плоската Земя, другите триизмерни форми предлагат алтернатива на „обикновеното“ космическо пространство.

Събраните към днешен ден космологични данни показват, че видимата от нас част на Вселената е гладка и еднородна или поне приблизително е такава. Локалната тъкан на пространството изглежда еднакво във всички негови точки и във всички направления. Но само три геометрични форми са подходящи за подобно описание на Вселената: плоска, сферична и хиперболична. Нека разгледаме тези модели заедно с топологичните предложения за възможните форми, които най-добре описват нашата Вселена от гледна точка на събраните космологични данни.

Плоската геометрия (планиметрията)

Това е геометрията, която се изучава в училище. Сумата на ъглите в триъгълника дава 180 градуса, а площта на кръга е πr². От математическа гледна точка, най-простият пример за плоска триизмерна форма е обикновеното безкрайно пространство – това, което математиците наричат евклидово пространство. Само че има и други плоски триизмерни форми, на които трябва да се обърне внимание.

Тези форми са по-сложни за визуализиране, но ние ще използваме силата на мисълта си и ще мислим в две измерения вместо в три. В допълнение към обикновената евклидова геометрия можем да създадем други плоски форми, като изрязваме част от плоскостта и залепим нейните краища заедно. Така например, нека да предположим, че имаме лист хартия, на който залепяме противоположните краища. Това дава цилиндър.

След това можем да залепим двата края и да получим това, което математиците наричат тор.

Може би ще кажете, че това не изглежда плоско. И ще бъдете прави. Ако наистина пожелаете да направите тор по този начин, хартията ще се смачка по вътрешната страна на тора и нямаше да може да се разтегне от външната му страна. Тоест, вместо хартия трябва да се използва някакъв разтегателен материал. Но именно това разтягане променя геометрията.

В обикновеното триизмерно пространство няма как да се изгради гладък физически тор от плосък материал без да има изкривяване на геометрията. Но нека просто поразсъждаваме какъв би бил животът във вътрешността на плоския от математическа гледна точка тор.

Представете си, че сте двуизмерно същество, чиято вселена е плосък тор. В тази вселена всички геометрични факти, с които сме свикнали, ще са същите, но при съвсем малък мащаб – ъглите в триъгълника ще дават 180 градуса и т.н. Но промените, които направихме в глобалната топология означават, че останалите неща в този тор ще се твърде различни.

Като начало, да приемем, че в тора има преки пътища, които се извиват и постепенно се завръщат в точката, откъдето са започнали:

В мащабите на тора тези пътища са извити, но за обитателите на плоския тор те са прави линии. Но тъй като светлината се разпространява по права линя, то ако погледнете право напред, би трябвало да можете да видите себе си отзад:

Ако погледнем това на хипотетичния лист хартия, то ще видим, че светлината, която стига края от лявата страна, веднага се появява в началото на дясната, подобно на компютърна игра:

Това явление може да бъде представено и по друг начин. Така например вие (или лъчът светлина) след като пресечете една от четирите граници на въпросния хипотетичен хартиен лист, ще се появите в нещо, което изглежда като нова стая. Но всъщност това си е съвсем същото пространство, но погледнато от друга перспектива.

А това означава, че по този начин можете да видите безкраен брой копия на себе си, когато гледате в различни направления. Това е така нареченият ефект на „Огледален коридор“ с изключение на това, че вашите копия не са отражения.

Този ефект е математически верен, понеже в тора има безкраен брой пръстени, по които светлината може да се придвижи от вас и отново да достигне вас.

Да усложним този компютърен модел. По същия начин можем да изградим плосък (от математическа гледна точка) триизмерен тор, ако залепим противоположните страни на един куб. Тази фигура не може да се визуализира като обект в обикновеното триизмерно пространство, но както и предишния път, ние можем абстрактно да разсъждаваме какъв би бил животът вътре в него.

Подобно на пространството в двуизмерния тор, приличащо на безкраен двуизмерен масив от правоъгълни стаи, пространството на триизмерния тор ще се състои от безкраен брой еднакви кубични стаи, в които ще можете да видите безкраен брой копия на себе си:

Триизмерният тор е само един от 10-те плоски (от математическа гледна точка) крайни светове. Има и плоски безкрайни светове, като например триизмерният аналог на един безкраен цилиндър. Във всеки един от тези светове съществува различен комплект огледални стаи.

Дали нашата Вселена няма една от тези плоски форми?

Когато гледаме в космоса, ние не виждаме безкраен брой копия на себе си. Но въпреки това, учудващо трудно е да се изключат тези плоски форми. Първо, те имат една и съща локална геометрия, както е при евклидовото пространство и никакво локално измерване не може да ги докаже или различи.

Но ако можехме да видим копие на самите себе си, то това далечно изображение би показало, как ние (по-вероятно нашата галактика) е изглеждала в далечното минало, понеже светлината трябва да измине много дълъг път, за да достигне отново при нас. Може би ще видим някакви неузнаваеми копия на себе си. Нещо по-лошо, различните копия като правило идват от различно до нас разстояние и повечето от тях ще изглеждат по-различно. Но може би те са твърде далече, за да можем да ги видим.

За да избегнат тези усложнения астрономите не търсят копия на себе си, а повтарящи се черти в най-далечното, което можем да видим: космическото микровълново излъчване, останало след Големия взрив. На практика това означава търсене на двойки елементи в реликтовото излъчване, които имат съвпадащи модели на горещи и студени точки, което предполага, че това е един и същи елемент, който се вижда от две различни точки.

През 2015 година астрономите направиха именно такъв анализ, използвайки данните от космическия телескоп Планк. Те провериха данните за съвпадащи елементи, които биха се видели във вътрешността на плоския триизмерен тор или друга плоска (от математическа гледна точка) триизмерна (от гледна точка на евклидовото пространство) геометрия. Нищо подобно не бе открито.

А това означава, че ако наистина живеем в тор, то той трябва да е толкова голям, че всички повтарящи се елементи се намират извън пределите на видимата от нас част на Вселената.

Сферичната геометрия

Всички сме добре запознати с двуизмерните сфери – повърхността на балона или топката, или портокала. Но какво би означавало нашата Вселена да е триизмерна сфера?

Твърде сложно е човек да си представи триизмерна сфера, но тя лесно може да се опише с една опростена аналогия. Подобно на това, че двуизмерната сфера е съвкупността от всички точки на фиксирано разстояние от някаква централна точка в обикновеното триизмерно пространство, така и триизмерната сфера или „трисферата“ (three-sphere) е съвкупността от всички точки на фиксирано разстояние от дадена централна точка, само че в четириизмерното пространство.

Животът в трисферите твърде силно ще се различава от живота в плоското пространство. За да разберете това, представете си, че сте двуизмерно същество, което живее в двуизмерна сфера. Тази двумерна (от математическа гледна точка) всъщност е Вселената и няма как да бъде получен достъп до едно от околните триизмерни пространства. В тази сферична вселена светлината се движи по най-краткия път – по големите кръгове на сферата, но за нас тези кръгове са прави линии.

Представете си, че вие и вашият двуизмерен приятел се намирате на северния полюс и той тръгва към южния. В началото неговата фигура ще става все по-малка, както сме свикнали да виждаме, понеже зрителното ни пространство се увеличава и той заема все по-малко място в него.

Но след като мине екватора става нещо странно – той изглежда все по-голям, колкото по-близо е до другия полюс. Причина е, процентът който той заема във вашето зрително пространство, започва да расте.

Когато той достигне южния полюс, той ще се вижда от всички направления и ще запълни целия ви визуален хоризонт.

Но ако на южния полюс няма никой, ще се вижда нещо още по-странно – вие самите. Причината е, че светлината излизаща от вас прекосява цялата сфера и се връща обратно при вас.

Това е фундаменталния модел на сферичната геометрия, но това отново не е единственото подобно пространство. Точно както изграждахме плоски пространства от късове евклидово пространство и ги залепвахме, съвсем по същия начин можем да изграждаме сферични пространства, като залепяме подходящите късове от трисферите. Всяка една от тези залепени форми, както и в тора, ще има свой лабиринт на отраженията, но в тези сферични форми има само ограничен брой от тези условни „стаи“, в които може да се попадне.

Може ли нашата Вселена да е сферична?

Дори и най-самовлюбените хора не могат да си се представят като фон на цялото нощно небе. Но както при плоския тор, фактът че не виждаме дадено явление съвсем не означава, че то не може да съществува. Окръжността на сферичната вселена може да е по-голяма от размера на видимата от нас част на Вселената, което ще направи фона твърде далечен, за да може да се разгледа.

Но за разлика от тора, сферичната вселена може да бъде открита чрез чисто локални измервания. В сферичната вселена правите линии са големи окръжности, а това означава, че триъгълниците ще бъдат по-издути от техните евклидови аналози и тяхната сума на ъглите ще бъде повече от 180 градуса.

Именно измерването на космическите триъгълници е основният начин, по който космолозите проверяват дали Вселената е извита. Повечето измервания и изследвания показват, че Вселената или е плоска или е много близко до плоска. Но наскоро изследователска група заяви, че част от данните, получени с помощта на космическия телескоп Планк, показват съществуването на сферична вселена. Само че голяма част от учените предполагат, че това най-вероятно е някаква статистическа погрешност.

Ненапразно древните хора са считали, че Земята е плоска – овалът на Земята е толкова малък, че не може да се открие лесно. Колкото е по-голяма една сферична форма, толкова по-плосък изглежда всеки детайл и елемент. Ето защо, ако нашата Вселена е с много голяма сферична или дори хиперболична форма, то това може да бъде открито с помощта на прибори с изключителна точност, които тепърва трябва да бъдат изобретени.