Ето как тайно древно общество е открило ирационалните числа

Историята за това как едно математическо откритие разтърсва основите на едно древно общество.

Хипас от Метапонт, древногръцки математик от V в. пр.н.е., е известен с откриването на ирационалните числа. Легендата разказва, че това откритие му коства живота, но точните обстоятелства на събитието остават неизвестни.

Като питагореец, последовател на религиозно-философското учение, Хипас споделял вярата на своята секта в хармонията на числата и числения мистицизъм. Един от основните принципи на питагорейството е идеята, че абсолютно всичко в света може да бъде описано с помощта на рационални числа, т.е. цели числа и дроби.

Изследвайки дължините на страните на пентаграма – символичния знак на питагорейците, Хипас открива, че някои от тях не могат да бъдат изразени като съотношение на цели числа. Така той успява да докаже съществуването на ирационални стойности, които не са рационални числа. Това откритие разклаща основите на питагорейската нумерология и се превръща във важен етап от развитието на гръцката математика.

Според различни исторически източници реакцията на питагорейците на откритието на Хипас за ирационалните числа е била смесена. Някои твърдят, че то е обидило и шокирало питагорейците, защото е противоречало на техния мироглед и на убеждението им, че светът може да бъде описан единствено с рационални числа. Според други версии Хипас е нарушил правилата за секретност, като е оповестил резултатите си, за което е бил изгонен или дори убит. Някои източници твърдят, че питагорейците умишлено са го удавили в морето, а други – че смъртта му е злополука, възприета като божествено наказание за разкриването на тайно знание.

Съвременните историци са склонни да смятат тези истории за легенди, които нямат солидна фактическа основа. Откриването на ирационалните числа, ако наистина е направено от Хипас, най-вероятно е било възприемано от питагорейската общност като важно математическо постижение, източник на гордост. Около питагорейците витаят много митове, тъй като тази влиятелна секта е била преследвана заради своите философски и политически възгледи.

Запазени са малко достоверни факти за живота и дейността на питагорейците. Общността им е основана от Питагор от остров Самос в Южна Италия около 530 г. преди новата ера. Известната теорема за сумата от квадратите на катетите, свързана с името на Питагор, най-вероятно е доказана не от него, а от негови последователи. В допълнение към интереса си към математиката питагорейците водели аскетичен начин на живот, били вегетарианци, отричали богатството и вярвали в преселението на душите, което ги правело необичайни за древна Гърция. С течение на времето те били преследвани и след смъртта на Питагор общността се разпаднала.

Историците са единодушни, че в някакъв момент питагорейците са успели да докажат несъизмеримостта на някои величини, от което следва съществуването на ирационалните числа – едно от най-важните открития в историята на математиката.

Числа извън пределите на дробите

В съвременната училищна програма се приема за даденост, че някои числови стойности, наречени ирационални стойности, не могат да бъдат изразени като отношение на две цели числа. Това прозрение обаче съвсем не е очевидно и само по себе си представлява важно откритие в историята на математиката. Ирационалните числа могат да бъдат апроксимирани само с помощта на рационални дроби, понякога с много голяма точност, но за тях не съществува точно представяне под формата на отношение на цели числа.

Известното доказателство за ирационалните числа, дадено от Хипас или друг питагореец, се илюстрира най-лесно с примера за равнобедрения правоъгълен триъгълник: Разгледайте триъгълник, чиито две страни, всяка с дължина a, образуват прав ъгъл, противоположен на хипотенуза с дължина c Известното доказателство за ирационалните числа, представено от Хипас, се илюстрира най-лесно с примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник: разгледайте триъгълника, чиито две страни, всяка с дължина a, образуват прав ъгъл, противоположен на хипотенуза с дължина c.

Този триъгълник има фиксирано съотношение на страните a/c . Ако и a, и c са рационални числа, дължините на страните на триъгълника могат да се изберат така, че за всяко a и c да съответства на най-малкото възможно естествено число (т.е. да нямат общ делител). Например, ако съотношението на страните е 2/3 , ще изберете a = 2 и c = 3. Ако приемем, че дължините на триъгълника съответстват на рационални числа, то a и c са цели числа и нямат общ делител – поне така си мислеха всички.

Доказателство от противното

Хипас използвал умозрителния метод на доказателството от противното, за да покаже погрешността на първоначалното предположение, че отношението на страните на правоъгълен равнобедрен триъгълник е рационално число.

Първо, той приложил Питагоровата теорема (a^2 + b^2 = c^2), като заменил равните страни на триъгълника a вместо a и b. Така се получило уравнението: 2a^2 = c^2, изразяващо дължината на хипотенузата c през страната a. Тъй като a и c са цели числа, от това уравнение следва, че c^2 трябва да е четно число. Следователно c се дели на 2: c = 2n, където n е някакво естествено число.

Като заместим c = 2n в първоначалното уравнение, получаваме: 2а^2 = (2n)^2 = 4n^2. Ако намалим и двете части с 2, ще получим: a^2 = 2n^2. Тъй като a е цяло число, a^2 е четно число. Това обаче противоречи на първоначалното предположение, че страните a и c на триъгълника са цели числа, защото в такъв случай нито една от тях не може да бъде четна.

Това противоречие позволило на Хипас да заключи, че отношението на страните a/c в равнобедрения правоъгълен триъгълник не може да се изрази като рационално число. С други думи, той доказал съществуването на ирационални величини, които не могат да бъдат представени като отношение на цели числа. Така например за триъгълник с единични катети a=1 дължината на хипотенузата c ще бъде равна на √2 ≈ 1,414… – ирационално число с безкрайно непериодично десетично число.

За съвременния човек, запознат с ирационалните числа от детството си, тяхното съществуване не е голям проблем. Преди около 2500 години обаче това откритие е могло напълно да преобърне представите за природата на числата и числовите отношения. Не е изненадващо, че покрай него са се развили много легенди и митове.