Не е просто математика: теорията на игрите разкрива как да избягаш от гения убиец

Мориарти е искал да се отърве от Холмс. И унищожи предсказуемостта – като същевременно ни даде ценни формули.

Скромният том на „Шерлок Холмс“ на лавицата може да изглежда като обикновена класика на детективския жанр. Малцина обаче се замислят, че историите за прочутия детектив от Бейкър стрийт навремето са станали източник на вдъхновение за цяло научно направление – теорията на игрите. Именно вълнуващите сблъсъци между Холмс и неговия главен противник професор Мориарти помагат на математика Джон фон Нойман и икономиста Оскар Моргенщерн да формулират основните принципи на тази дисциплина в началото на XX век.

Теорията на игрите се занимава с намирането на оптимални стратегии в условия на неопределеност и конфликт на интереси. Най-простият пример е така нареченият „проблем с тортата“. Той демонстрира как двама души могат справедливо да си разделят една торта: единият я реже, а другият си избира парче. Въпреки че този конкретен сценарий е известен още от древността, той добре илюстрира подхода на теоретиците на игрите – намиране на решения, които минимизират рисковете и максимизират печалбите.

Фон Нойман и Моргенщерн били особено очаровани от един епизод от разказа на Артър Конан Дойл „Последният случай на Холмс“, в който се описва отчаяното преследване между детектива и неговия заклет враг. Действието се развива на перона на гара Виктория в Лондон. Мориарти се опитва да настигне Холмс, но той успява да се качи на влака за Дувър. В отговор професорът наема мотриса, за да настигне Холмс. Пътуването на влака обаче не е праволинейно – той спира в Кентърбъри. Именно тук започва истинската стратегическа игра.

Мориарти трябва да реши дали да отиде в Кентърбъри, надявайки се да засече Холмс именно там, или да продължи към Дувър, където детективът може да се опита да премине на континента. Холмс на свой ред осъзнава, че противникът му играе точно по този сценарий, и трябва да направи избор, предугаждайки мисълта на врага. Но професорът може да разчита на подобна логика и от страна на детектива…

Тази верига от взаимни догадки е една класическа илюстрация на сложността на стратегическото мислене, при което всяка от страните предполага, че противникът ѝ предвижда следващия ѝ ход. За да се избегне безкрайният цикъл от логически капани, фон Нойман предлага концепцията за оптимален избор при неблагоприятни условия – т.нар. стратегия minimax. Идеята е планът да се базира на най-лошия възможен сценарий.

В реалните игри с неопределен изход, като например камък-ножица-хартия, най-добре е да се избягва предвидимостта и да се действа на случаен принцип. Ако изборите са винаги равномерно разпределени, противникът не може да открие закономерност и да получи предимство. Проблемът на Холмс и Мориарти е много по-сложен, но принципите остават подобни.

Фон Нойман и Моргенщерн отиват по-далеч и моделират всички възможни варианти на събитията. Те въвеждат система от условни числови оценки (т.нар. печалби) за всеки изход, за да опишат по математически начин интересите на двете страни. Стойностите варират от -100 до 100, като положителните числа означават успешен изход, а отрицателните – неуспех.

В първата ситуация и Холмс, и Мориарти се озовават в Дувър. За професора това е най-добрият изход – той залавя детектива и го елиминира. Неговата печалба е 100, а за Холмс – катастрофалните -100.

Във втория случай Холмс стига до Дувър, а Мориарти се отправя към Кентърбъри. Детективът печели време и възможност да избяга в чужбина. Неговата печалба се оценява на 50, професорът, от друга страна, получава -50, тъй като планът му е осуетен.

Третият сценарий е Мориарти да стигне до Дувър, а Холмс да слезе на междинна гара. Никой не постига ясно изразено предимство: и двамата остават в Англия, а ситуацията и за двамата се оценява неутрално, 0.

И накрая, последният възможен изход – и двамата слизат в Кентърбъри. И тук професорът печели, шансът му да хване Холмс е максимален, като печалбите са съответно 100 и -100.

По този начин нито една от страните не разполага със сто процента правилна тактика. В играта влиза случайността. Ако двамата просто хвърляха монета, за да решат къде да излязат, вероятността Холмс да умре щеше да е 50 процента. Това е така, защото пътищата им се пресичат, когато изборите им съвпадат, и детективът на практика няма никакъв шанс.

Теоретиците на игрите обаче показват: компетентният избор на вероятности дава възможност да се повлияе на резултата. Да предположим, че Холмс решава да отиде в Дувър с вероятност p, а професорът – с вероятност q. Вероятностите да отидат в Кентърбъри са съответно (1 – p) и (1 – q).

Ако професорът избере Дувър, очакваната печалба на Холмс е -100p. Ако той отиде в Кентърбъри, формулата е 50p – 100(1 – p), което се опростява до 150p – 100.

За да минимизира риска, Холмс трябва да избере такава стойност на p, при която и двата варианта дават един и същ резултат. Като изравним формулите, получаваме: 150p – 100 = -100p. Решавайки уравнението, намираме p = 0,4, т.е. 40% вероятност да избере Дувър и 60% вероятност да избере Кентърбъри.

Същият принцип се прилага и за Мориарти. За него оптималната вероятност да пътува до Дувър е 60 процента. Останалите 40 процента са да отиде до Кентърбъри.

При тези обстоятелства математическият модел прогнозира, че Холмс има 52 процента вероятност да оцелее – малко по-висока, отколкото при равномерен избор. И, както се оказва, теорията на игрите все пак дава предимство дори в ситуация, която изглежда като чиста лотария.

Любопитно е, че Артър Конан Дойл, без да е запознат с математическите изчисления по онова време (теорията на игрите се оформя окончателно едва през 40-те години на ХХ век), интуитивно избира сюжетен ход, съответстващ на оптималната стратегия. В разказа Холмс слиза от влака в Кентърбъри, а доволният Мориарти продължава по пътя си към Дувър, без да знае, че планът му се е провалил.

Тази история не само украсява наследството на великия детектив, но и ясно демонстрира как математическите модели помагат да се осмислят сложните ситуации на избор и риск. Дори когато нямаме нито подправена монета, нито калкулатор в ръка, логиката и хладния разум си остават най-добрите съюзници.