Получаване на пари за подхвърляне на монети за милиони долари. Сериозно

Един безотказен начин да ангажирате хората в дискусия е редовно да публикувате това нещо в Twitter. Понякога ненавиждам такива педантични разнищвания на темите, но в този случай, по дяволите, нека да разнищим тази глупост и да видим колко полезна информация можем да извлечем от нея.

Нека започнем с очевидното.

• Очакваната стойност при избора на бутона със зелен цвят е 25 милиона долара.
• Много хора ще изберат червения цвят. Някои от тези хора знаят, че очакваната стойност на бутона със зелен цвят е 25 млн. долара и въпреки това избират червения цвят.

Тук няма дисонанс. Червеният бутон гарантира изцяло нов живот за по-голямата част от населението на света. Зеленият бутон означава, че може нищичко да не спечелят и да им се наложи да настроят будилника си за утре и така или иначе да станат за работа.

Радостта от богатството работи на принципа на намаляващата стойност. Току-що намерих 40 долара в чифт панталони, които не съм носил от дълго време (и маска също така маска срещу ковид). Ако това се беше случило преди 25 години, щеше да е достатъчно сериозна находка, за да изтичам до местния банков клон и да си отворя спестовна сметка.

Икономистите говорят за „изгодата“ от богатството. Те демонстрират тази концепция със сублинейна функция, свързваща „полезността“ с размера на богатството. Обикновено това е логаритмична или стъпаловидна функция. Тя е сублинейна, защото „ако богатството ви се удвои, щастието ви се увеличава, но не с коефициент 2“. Учените дълго спорят и ще спорят за емпиричната форма на тази функция.

Ще кажем, че вашата „полезност“, измислени единици на удовлетворение, е равна на кубичния корен от богатството:

Нека започнем с най-опростената графика.

• Когато богатството ви се увеличи 100 пъти от 10 хил. до 1 млн. долара, тази функция показва, че сте около 5 пъти по-щастливи.
• Когато богатството ви се увеличи 2500 пъти от 10 хил. долара до 25 млн. долара, тази функция казва, че ставате „само“ 13 пъти по-щастливи.

Функцията е разумна – щастието расте по-бавно, но тя също така твърди, че по-голямото богатство винаги е по-добро от по-малкото (бих нарекъл това „условие за липса на арбитраж“. Ако то не беше вярно, можехте просто да раздадете парите).

Но както искаме да разгледаме дългосрочната възвръщаемост на инвестициите на логаритмична графика (натрупването е експоненциална функция), ние искаме да компресираме графиката, за да получим по-обширен изглед. Освен това сред нашите читатели има немалко хора с богатство над 25 милиона долара, а ние искаме да достигнем до цялата аудитория, нали?

И така, нека преобразуваме оста на богатството в ос log(wealth), като използваме 10 ^x (т.е. $1000 = 10³).

Ето я и таблицата, на която се базира тази графика:

Използваме логаритмични диаграми, за да представим информацията по по-функционален начин.

Като използваме log (base-10), за да трансформираме оста на богатството, вече можем да видим какво означава кубичният корен на полезността:

С всеки порядък на увеличаване на богатството щастието ви се удвоява.

Ако богатството ви се увеличи десетократно, щастието ви ще се увеличи около два пъти.

Но тук има и друго забавно нещо.

Когато гледам тази полулогаритмична графика, ме притеснява, че тя все още е експоненциална. Полезността нараства два пъти.

В случай на експоненциални функции (като сложната възвръщаемост в контекста на инвестирането) полулогаритмичната графика създава права линия.

Но функцията кубичен корен е мощна функция. За да получим права линия, трябва да използваме логаритмична диаграма вместо полулогаритмична диаграма!

Нека направим това и да видим защо тази трансформация помага при тълкуването. Първо, таблицата:

Удобно е да се използва log (base-2) за оста на полезността, тъй като полезността нараства с коефициент 2.

А ето я и логаритмичната диаграма:

Наблюденията

• Оста x е log base-10 (богатството), а оста y е log base-2 (полезността). И получаваме права линия – това води до едно простичко заключение: Всяко десеторно увеличение на богатството удвоява нашето щастие.
• Очевидно е защо много хора биха предпочели гарантираните 1 млн. долара пред очакваната стойност от 25 млн. долара. Да, ако днес имате 10 долара, щастието ще ви се удвои над 6 пъти (то се увеличава над 50 пъти, от 2 до 100) в продължение на 5 порядъка на величината. Между 1 млн. и 25 млн. долара щастието се увеличава само около 3 пъти (от 100 до 292). Тези 24 млн. долара „струват“ по-малко от първите 1 млн. долара.

Разбира се, тази функция на полезността не описва задължително който и да е индивид, а е качествено изведена от идеята, че начинът ви на живот изглежда доста сходен, докато не се издигнете до по-висок порядък на богатството. Можем да спорим за действителната скорост, но освен ако не страдате от мании за величие, тя почти сигурно ще бъде сублинейна.

Следващия път, когато видите въпрос за червен/зелен бутон, можете да оцените колко рационални са отговорите на хората, въпреки всичките им заблуди по повод нарастващите математически очаквания.

Допълнение

В този обзор бе показано как да се избират логаритмични трансформации за преобразуване на експоненциалните графики в линейни графики и да се запази интуицията, като се казват неща като

• „Y се увеличава с фиксирана величина винаги, когато X се увеличава с един порядък (log base 10)“
• „Y се увеличава с фиксирана величина всеки път, когато X се удвои (log base-2)“.

Извеждане на линейни трансформации на полулогаритмични и логаритмични линейни:

• Защо експоненциалните функции са линейни на полулогаритмичните графики?

Да започнем с логаритмизирането на двете страни на експоненциалната функция:

Y = a<sup>X</sup>

Log(Y) = X log(a)

това изглежда като права линия: Y = mX + b

където:

X log(a) съответства на mX, затова наклонът или m= log(a)

• Степенните функции са линейни върху логаритмичните графики.

Изводът се получава, като се вземе логаритъмът на двете страни на силовата функция:

Y = aX^b

log(Y) = log(aX^b)

log(Y) = log(a) + log(X^b)

log(Y) = b log(X) + log(a)

и това изглежда като права линия: Y = mX + b

где пресичането е log(a), а наклонът – експонентата от b.

Да намалим математиката и да погледнем на ситуацията от гледна точка на парите

Ако във вас тече кръвта на трейдър, ще погледнете горния въпрос и ще си кажете:

„Просто ще продам на търг тази червено-зелена опция на този, който предложи най-много“.

Каква цена мислите, че ще получите?

Нека да поразсъждаваме.

Някой, който не се интересува от риска, ще оцени еднакво гарантираните 1 млн. долара и очакваните 1 млн. долара.

Червеният бутон дава 25 милиона долара, така че нашият неутрален към риска приятел Спок няма да плати повече от 24 милиона долара за възможността да го натисне.

Доказателството за очакваната сума от 1 млн. долара ще остане в сила, ако платите 24 млн. долара:

.50 * -24 милиона долара + .50 * 26 милиона долара = 1 милион долара.

За съжаление, всичко, което направихме досега, е да определим горната граница от 24 милиона долара, за да платим за тази възможност.

Но как мислите, колко всъщност ще плати някой?

Нека да направим всичко по-ясно и да видим дали можем да изведем нашата логика на следващото ниво.

Представете си, че зеленият бутон гарантира само 1 долар, а червеният бутон гарантира 50% шанс за 50 долара.

Бихте ли платили 24 долара? Вероятно не, освен ако не сте любители на риска, като това не е изключено. В края на краищата приложението за търговия Robinhood има милиони потребители, които търгуват за забавление, а децата от рекламите на E-trade се появиха отново в рекламите на Super Bowl.

Бихте ли платили 23 долара, за да натиснете червения бутон? А 22 долара? Ако не искате да платите поне 20 долара, моля, затворете този раздел точно сега. Сега сме на вълна трейдъри, които се опитват да продадат тази да кажем измислена игра.

С този мисловен експеримент ви карам да почувствате, че отговорът на въпроса зависи от:

1. финансовите ви възможности (да заложите 20 долара на в този случай е добре и приемливо. Но да играете с всичките пари, които имате, никак не е добре)
2. предпочитанията ви за риск.

Имайки предвид това, можем да преминем към следващия раздел, където ще генерираме конкретния отговор на първоначалния въпрос.

Същите пари от гледната точка точка на мазохиста

24 милиона долара за човек със състояние от 100 милиарда долара е същото като 24 долара за човек със състояние от 100 000 долара.

В света има 10 души, които могат невъзмутимо да приемат този залог също толкова лесно, колкото и някой, който просто би играл с 20 долара.

Но както и в случая с намирането на горната граница на това, което някой може да плати, това е само началото.

Това е едно отлично място за използване на критерия на Кели. Накратко, критерият на Кели е формула, която определя идеалния процент от капитала, който да заложите. Предписаният дял е математическото решение на въпроса „Колко трябва да заложа, за да увелича максимално темпа си на растеж?„.

Създадох набор от статии за тези, които искат да научат повече (предупреждения, история и още много други). Но сега искаме да се съсредоточим върху нашия въпрос.

Формулата на Кели за определяне на дела от вашето богатство, който трябва да се заложи, е проста:

f* = Edge / Odds

където

f* = дела на богатството

Edge = очакваната печалба

Odds = процентът на печалбата при спечелване

Тоест, ако моите първоначални инвестиции са $24 млн, и аз очаквам да спечеля $1 млн, то:

Edge = 24 млн = 4.17%.

Тоест, когато спечелвам тази игра, аз печеля $26 млн при залог от в $24 млн:

Odds = 26/24 = 108,33%.

f* = edge/odds = 4,17% / 108,33% = 3,85%

И ето какъв е изводът от тези несложни изчисления. Кели препоръчва да се при подобно предложение да заложите 3,85% от вашия капитал.

$24 млн – са 3,85% при базови финансови средства от $624 млн. Точно така, за да се спази формулата на Кели, трябва да имате $624 милиона, за да направите залог от $24 милиона, които са въпросните математически изчислени 3,85% от тези $624 милиона.

Реалността

Броят на фондовете, търговските фирми или дори на физическите лица, които могат да направят този залог, е много по-голям от 10-те най-богати хора на планетата.

И не забравяйте, че този залог представлява обикновена хазартна игра – той не е обвързан с пазарите или икономическия растеж. Търговските фирми непрекъснато диверсифицират подобни залози. Като човек, който търгува на фондовата борса, бих описал този бизнес като „плати ми 10 000 долара предварително и аз ще подхвърля с теб монета за 1 милион долара“.

Ако монетата е честна, тя струва 500 хил. долара и аз по същество я купувам за 490 хил. долара и я продавам за 510 хил. долара. И в двата случая получавам 2% от печалбата.

Шансовете ми са $510 хил./$490 хил. = 104,08%.

Препоръчителният залог е 2%/104,08% = 1,9%, което е само наполовина по-малко от червения бутон с 24 млн. долара!

Така че, да, очаквам, че възможността за натискане на червения бутон ще бъде продадена за около 24 млн. долара от някоя голяма фирма, свикнала да поема рискове срещу определено възнаграждение