Бъфет срещу Гейтс: Когато късметът не е достатъчен, а математиката решава

Неочакван обрат в играта на двамата милиардери.

Веднъж Уорън Бъфет предлага на Бил Гейтс да играят една необичайна игра със зарове. Бъфет поставил четири зара на масата и обяснил правилата. Всеки от тях трябвало да избере по едно зарче, да го хвърли няколко пъти и този, който хвърлял по-често по-голямо число, печелел. Тези зарове не са били номерирани като стандартните зарове: вместо числата от едно до шест, върху тях е имало други стойности, които са били различни за всеки зар. В знак на любезност Бъфет предлага на Гейтс пръв да избере един зар. Това събудило подозрение у Гейтс, който решил да провери заровете и настоял Бъфет да избере първия зар.

Обикновено в игрите правото да избереш пръв дава предимство, така че защо в този случай двамата предприемачи са спорили за правото да избират втори? Отговорът се крие в едно необичайно свойство на заровете на Бъфет. За да го разберем, можем да разгледаме пример с подобни зарове, които имат същите свойства като заровете на Бъфет, но са по-лесни за анализиране.

Колко често зарчето А ще даде по-голямо число от зарчето В? Тъй като на всяко зарче има само три различни числа, в една трета от случаите зарчето А ще изкара 9, което е печелившо, независимо от хвърлянията на В. В една трета от случаите зарчето А ще изкара 1, което е губещо, независимо от хвърлянията на В. В останалата една трета от случаите зарчето А ще изкара 5, което е печелившо при две трети от хвърлянията на В (тези, които показват 3 или 4).

Като вземем предвид тези наблюдения и правилата за вероятност, се оказва, че А побеждава В в (⅓ x 1) + (⅓ x 0) + (⅓ x ⅔) = 5/9 от времето, или около 56% от времето. Аналогично пресмятане показва същата вероятност зарът В да победи зарара С – В също побеждава С в около 56% от случаите. Следователно, ако А обикновено побеждава В, а В обикновено побеждава С, изглежда, че А трябва да победи С, нали? Грешка! Всъщност C побеждава А в около 56% от случаите.

Такъв тип зарове се наричат непреходни зарове. Множество взаимоотношения в живота се подчиняват на обратното, транзитивно свойство: ако Алисия е по-възрастна от Бруно, а Бруно е по-възрастен от Касандра, то Алисия е по-възрастна от Касандра. Това е правилното заключение, защото релацията „по-стар“ се подчинява на транзитивното свойство. Интранзитивните зарове изненадват нашето възприятие, защото релацията „обикновено хвърля по-голямо число“ не е транзитивна, въпреки че изглежда, че би трябвало да бъде. Важно е да се отбележи, че за да се падне по-голямо число, не е задължително зарчето А винаги да побеждава зарчето В. И, което е важно, има ситуации, в които А побеждава В и същевременно губи от В. Това пресичане на числата на лицата позволява на заровете да бъдат непреходни.

При всеки набор от непреходни зарове този, който избере пръв в играта на Бъфет, е в неизгодно положение, защото вторият играч винаги може да избере зар, който вероятно ще победи избора на противника. Мнозина се сблъскват за първи път с интранзитивните игри чрез „камък, ножица, хартия“. Цикличната структура на победата в тази игра гарантира, че нито един избор не превъзхожда по уникален начин другия. Играта със зарове на Бъфет е аналогична на това, ако вашият опонент ви каже предварително какво ще избере в играта „камък, ножица, хартия“ – грешка, която би довела до неговото поражение.

Интранзитивните зарове са изобретени преди повече от 50 години от статистика от Станфорд Брадли Ефрон. Всеки зар от комплекта на Ефрон побеждава другия във впечатляващите две трети (около 67%) от случаите. Мартин Гарднър популяризира заровете на Ефрон в легендарната си рубрика „Математически игри“ в Scientific American, но оттогава насам математиците са измислили множество хитри варианти на тези зарове. Вече е известно, че всеки брой зарове (по-голям от две) може да притежава интранзитивен цикъл. Това означава например, че съществува набор от 26 зара, в който зарът А обикновено побеждава зарара В, който обикновено побеждава зарара С, и така нататък до зарара Z, който, въпреки че се намира в края на дълга верига от доминиращи зарове, обикновено побеждава зарара А.

Не е задължително интранзитивните зарове да имат шест повърхности. Всъщност съществуват интранзитивни тройки зарове с произволен брой страни (повече от две). Холандският дизайнер на пъзели Оскар ван Девентер дори е изобретил комплект от седем шестоъгълни зарчета, които позволяват играта на Бъфет за трима души. С други думи, ако Бъфет и Гейтс поканят Доли Партън да играят с тях, Гейтс и Партън могат да изберат по един зар от седемте, а Бъфет все пак ще намери един зар от останалите пет, който по-често ще побеждава и двата им избора.

Точно когато изглежда, че природата на интранзитивните зарове вече е разбрана, математическата изтънченост отново е изненадваща. Така например можем да изчислим, че зарът А побеждава зара В 7/12 пъти (около 58%), зара В побеждава зара С 7/12 пъти, само че зарът С побеждава зара А 25/36 пъти (около 69%). Това не е нов феномен – тези зарове се побеждават един друг с различна вероятност, но те все още са непреходни.

Ако обаче хвърлите не само един зар, а двойка еднакви зарове, ситуацията се променя драстично. Какво се случва, ако хвърлите чифт зарове А срещу чифт зарове В? Ще бъде ли вероятността за победа същата като преди, защото заровете са еднакви, или дублирането на заровете увеличава предимството на А пред Б? В един изненадващ обрат двойка зарове А обикновено губи от двойка зарове В! Нещо повече, целият цикъл се обръща: двойката зарове В обикновено губи от двойката зарове С, а двойката зарове С обикновено губи от двойката зарове А. Този ефект, който обяснява обратното усилване на силата на дублирането, показва колко необичайни могат да бъдат тези зарове.

За да се разбере по-добре как дублирането на заровете може да промени относителната им сила, представете си прост пример с два двустранни зара – X и Y. На двете страни на X е изписано числото 1, а на страните на Y са изписани 0 и 3. Тези зарове са равни по сила: Y печели половината от времето (когато се хвърли 3) и губи половината от времето (когато се хвърли 0). Когато обаче заровете се дублират, двойката Y е по-силна от двойката X. Двойката X винаги хвърля 2, а двойката Y губи само ако и двата зара покажат 0, което се случва само в една четвърт от случаите. Подобно явление обяснява обратната сила в случая на непреходните зарове.

Интранзитивните зарове не са толкова очевидни и изглежда, че съществуването им би трябвало да е рядкост. Но дали това е причината за тяхната уникалност? Ако се знае само, че зарът А обикновено побеждава зара В, а В обикновено побеждава зараза В, каква е вероятността А също обикновено да побеждава зараза В или обратното? Изобретателни хора внимателно са изработили всички споменати зарове на ръка, но биха ли могли просто да изберат случайни числа на заровете и да намерят непреходно множество?

Британският математик Тимъти Гауърс си поставя за цел да отговори на този въпрос. Гауърс ръководи проекта Polymath – иновативна и сравнително нова парадигма в математическите изследвания. Вместо няколко математици в един или два университета да работят по даден проблем, проектът Polymath използва подход на колективен интелект: произволен брой участници могат да работят съвместно по дадено доказателство чрез онлайн дискусии. През 2017 г. Гауърс предлага в блога си да се обмисли възможността за създаване на интранзитивни зарове. Заменяйки информационната дъска с раздел за коментари във WordPress, десетки учени се заеха с проблема и го решиха.

Ако зададете произволно числа на три различни зара и искате да знаете каква е вероятността те да са непреходни, отговорът зависи от това какво точно се има предвид под „произволно задаване на числа“ на заровете. Екипът на Polymath моделира това с два естествени критерия. Точно както числата от 1 до 6 се срещат на типичния шестстенен зар, случайният n-стенен зар ще съдържа числата от 1 до n (някои числа може да се повтарят, а други може изобщо да не се срещат). Точно както числата върху обикновения шестоъгълен зар се събират като сума от 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, екипът на Polymath е изисквал сумата от числата върху n-странен зар да е равна на сумата от числата от 1 до n.

И така, кое е по-разпространено – транзитивните или интранзитивните зарове? Участниците в проекта Polymath доказаха, че три произволни n-ъгълни зара ще бъдат непреходни в около половината от случаите. С други думи, знанието, че А обикновено побеждава В, а В обикновено побеждава С, не дава почти никаква информация за това дали А ще победи В или обратното. Може да се предположи, че транзитивните зарове са по-често срещани от интранзитивните. Възможно е някои читатели, уморени от това, че очакванията им се опровергават, да предположат, че непреходните зарове са по-често срещани. Но тези неуловими зарчета упорито избягват прогнозите. При трите зара транзитивните и интранзитивните зарчета се срещат с еднаква честота.