Как една таблица може да преобърне математическия свят с главата надолу

През 2018 година, когато Акшай Венкатеш се подготвял да получи медала „Фийлдс“ – най-високото отличие в областта на математиката, той носел лист хартия с таблица с математически изрази, които играят важна роля в теорията на числата. Този лист не напомнял за постиженията му, а по-скоро символизирал нерешен проблем, с който се е сблъскал в изследванията си. От едната страна на листа били периодите, а от другата – L-функциите. Венкатеш и колегата му Янис Сакеларидис могат да съпоставят периодите с L-функциите, но обратното съпоставяне остава загадка.

Периодите и L-функциите са фундаментални математически обекти, тясно свързани с ключови въпроси в теорията на числата и аритметиката.

Периодите възникват от анализа, а L-функциите са безкрайни суми, които помагат да се разбере разпределението на простите числа и други ключови въпроси. Най-известната L-функция е дзета функцията на Риман, която е в основата на хипотезата на Риман – един от най-известните нерешени проблеми в математиката. Оказва се обаче, че има връзка между периодите и L-функциите, която Венкатеш и колегите му се опитват да разберат.

Програмата Лангландс, в рамките на която е извършена тази дейност е една от най-амбициозните области на съвременната математика, съчетаваща аритметика, геометрия и анализ.

Тя е започната от математика Робърт Лангландс през 1967 година, когато той предлага хипотезата, че важни обекти от анализа – автоморфни форми могат да бъдат съпоставени с обекти от алгебрата – групи на Галоа. Тези групи описват симетриите на полета от числа, като например рационалните числа, и играят ключова роля в разбирането на структурата на числата.

Оттогава насам математиците работят върху доказването на това предположение, като успяват в няколко ограничени случая. Едно от тези постижения е доказателството на великата теорема на Ферма от Андрю Уайлс през 1994 година, което се основава на прилагането на идеите на програмата на Лангландс към специалния случай на автоморфните форми и групите на Галоа. По този начин дори частични резултати върху предположението на Лангландс доведоха до значителни пробиви в математиката.

През 2012 година Венкатеш и Сакеларидис публикуват книга, в която разработват метод за свързване на периоди с L-функции. Този метод обаче беше ограничен, тъй като можеше да се работи само в една посока: ако им беше даден период, те можеха да изчислят дали той има L-функция, свързана с него. Обратната посока обаче – да се предвиди коя L-функция може да има период, свързан с нея остава трудно постижима.

Осъзнавайки, че не разполагат с необходимите инструменти за завършване на работата, Венкатеш и Сакеларидис се обръщат към колеги от други области на математиката. Ключов техен партньор е Дейвид Бен-Цви, математик от Тексаския университет в Остин, който е специализиран в геометричния подход към математическите проблеми. Бен-Цви вижда възможност да свърже периодите и L-функциите, използвайки симплектичната геометрия – област от математиката, използвана за описание на основни въпроси във физиката, като механика и теория на полето.

Този подход се оказва успешен. През юли 2023 година Венкатеш, Сакеларидис и Бен-Цви публикуват ръкопис от 451 страници, в който предлагат нов начин за разбиране на връзката между периодите и L-функциите чрез геометрични пространства. Използвайки симплектична геометрия, те успели да конструират „двупосочен превод“ между тези два математически обекта, което откри нови хоризонти за изследванията в рамките на програмата Лангландс.

Този пробив се оказва не само важна стъпка в разбирането на периодите и L-функциите, но и разширяване на самата програма Лангландс, която вече обхваща не само аритметиката и анализа, но и геометрията. Новата работа позволила на математически обекти от различни области да „разговарят“ помежду си, което значително увеличило броя на наличните методи и инструменти за решаване на ключови проблеми в теорията на числата.

Изграждането на такива връзки между различни области на математиката е една от основните цели на програмата Лангландс. Математиците се надяват, че след като тези мостове бъдат окончателно изградени, методите от една област на математиката ще могат да се използват за решаване на фундаментални проблеми в други области. Например, методите от геометрията могат да се прилагат за решаване на стари проблеми в аритметиката и обратно.

Важно е да се отбележи, че работата на Венкатеш, Сакеларидис и Бен-Цви засега е ограничена до полетата на функциите – специални бройни системи, които възникват в геометрията. Въпреки това те са уверени, че този подход може да бъде развит и за числени полета като рационалните числа, което ще отвори пътя към по-дълбоко разбиране на числените структури.

По този начин техните изследвания не само приближават математиците до решаването на фундаментални въпроси в теорията на числата, но и укрепват връзките между различните области на математиката, като ги правят по-интегрирани и взаимно допълващи се.