Здравейте,

може ли помощ по следната задача:

 

Условие: При явяване на тест със m затворени отговори, студент знае верния отговор с вероятност p, в противен случай избира случайно един от възможните отговори. Каква е вероятността студентът да знае верния отговор, при условие че е отговорил вярно на въпроса.

Решение:

n = m -> броят на всички събития;

k = ? -> броят на благоприятните събития;

P(студент знае верния отговор) = p; 

P(студент знае верния отговор) = k/n => k = P(студент знае верния отговор)*n => (като заместим) к = p *m (броят на благоприятните събития);

Аз съм до тук съм и не се сещам как да продължа?

P(студент отговаря вярно на въпроса) = ? 

Ако нямерим P(студент отговаря вярно на въпроса)  по формулата за условна вероятност ще намерим и P(студент знае верния отговор/студент отговаря вярно на въпроса) = ?

Да си представим, че се случват общо N на брой случаи,
в някои от които студентът отговаря вярно, а в други - невярно.

От всичките тези N на брой случаи студентът знае верния отговор средно в Q на брой случаи,
а в останалите R на брой случаи не знае.

Q/N = p (това е дадената вероятност да знае)
Очевидно Q + R = N
 
В тези случаи, когато не знае - избира случайно,
значи тогава средно в R/m случая ще има верен отговор.

Общо от всичките N случая в Q на брой ще имаме верен отговор, когато е знаел
и още във R/m случая верен отговор, но когато не е знаел.

Каква тогава ще бъде вероятността p1 при правилен отговор той да е в групата от Q , а не в групата от R/m случая ?

p1 = Q/(Q+R/m)

Тъй като Q + R = N

p1 = Q/(Q+(N-Q)/m)

Тъй като Q/N = p 

p1 = Np/(Np+(N-Np)/m) = p/(p+(1-p)/m)

Получава се, че когато има верен отговор, вероятността студентът да е знаел е  p/(p+(1-p)/m)

Вие какво получихте с формулите за условна вероятност ?
 

Това е моето решение, което съм прикачила като картинка, не знам дали е вярно.

на 17.12.2022 г. в 19:23, helena2345 написа:

Условие: При явяване на тест със m затворени отговори, студент знае верния отговор с вероятност p, в противен случай избира случайно един от възможните отговори. Каква е вероятността студентът да знае верния отговор, при условие че е отговорил вярно на въпроса.

Предишния път реших задачата с елементарни методи.
А сега с формулата на Бейс.

Условие: 
При явяване на тест със m затворени отговори, 
студент знае верния отговор с вероятност p, 
в противен случай избира случайно един от възможните отговори. 
Каква е вероятността студентът да знае верния отговор, 
при условие че е отговорил вярно на въпроса.

Нека събитията H1, H2 образуват пълна група събития и А е произволно събитие, 
което настъпва след настъпването на някое от събитията от пълната група. 

В нашата задача имаме две хипотези:
H1 = { студентът знае }
H2 = { студентът избира случайно }

И събитието A настъпва след H1 или H2:
A = { отговорил вярно }

Търсим каква е вероятността да знае, при условие, че е отговорил вярно, т.е.
p(H1/A) = ?

По формулата на Бейс:

p(H1/A) = p(H1).p(A/H1)/(p(H1).p(A/H1)+p(H2).p(A/H2))

p(H1) = p (по условие)
p(H2) = 1 - p(H1) = 1 - p

p(A/H1) = 1 (с вероятност 1 отговаря вярно когато знае)
p(A/H2) = 1/m (избира случайно когато не знае)

По формулата на Бейс:

p(H1/A) = p.1/(p.1+(1-p).(1/m)) = p/(p+(1-p)/m) 

Това трябва да е отговора на задачата.