Могат ли цифрите на числото π да скриват произведенията на Шекспир?

Всички кръгове – от кръгчетата на лука до пръстените на Сатурн – имат едно удивително свойство: дължината на обиколката им е около три пъти по-голяма от техния диаметър. По-точно, дължината на обиколката е равна на 3,14159, или числото π, умножено по диаметъра.

Кръговете са толкова фундаментални фигури, че числото π, което ги описва, оставя своя отпечатък върху цялата математика. Числото π е ирационално, което означава, че десетичното му представяне никога не свършва и никога не се повтаря. За такава идеална, симетрична форма може да изглежда твърде удивително, че кръговете се подчиняват на такова хаотично число като π. Това поражда въпроса: защо за тази проста форма не е избрано по-„нормално“ съотношение, например 3?

Математиците смятат, че π е обикновено число, както в ежедневен, така и в технически смисъл. Нормалните числа имат десетично представяне, което съдържа всяка цифра от 0 до 9 с еднаква честота, както и всяка двуцифрена последователност от 00 до 99. Това важи и за по-дългите последователности. В дългосрочен план десетичното разлагане не показва предпочитание към нито една цифра или комбинация от цифри. Ако произволно изберете цифра от нормално число, вероятността тя да бъде например 7, е 1 към 10.

За да разберем колко необичайни са нормалните числа, представете си, че цифрите на едно подобно число кодират текст: 01 означава „a“, 02 – „b“ и т.н. В този случай нормалните числа съдържат всеки възможен текст, който някога е бил или ще бъде написан. В безкрайното десетично представяне на π можете да намерите текста на Бионсе, точно копие на тази статия, подробно описание на това, което ще се случи утре, всички разговори, които някога са се състояли, и дори всички произведения на Шекспир.

Важно е обаче да се отбележи, че не всяко безкрайно и непериодично число (т.е. ирационално) е нормално. Така например числото 0,01001000100001…, в което броят на нулите се увеличава всеки път между единиците, е безкрайно и неповтарящо се, но не съдържа всички възможни последователности от числа.

Математиците все още не са успели да докажат, че π е нормално число. Теоретично едно число може да съдържа всички възможни текстове, но въпреки това да не отговаря на изискването всички последователности да са равномерно разпределени, което е необходимо за нормалността. Въпреки това статистическите тестове на трилиони цифри на числото π показват, че неговите свойства са в съответствие с нормалността, въпреки че тестването на всеки краен брой цифри не може да служи като доказателство.

Интересно е, че почти всички числа са нормални. Ако се избере произволно точка от числовата ос, със 100-процентова вероятност тя ще се окаже нормално число. Това е сравнимо с известния мисловен експеримент, според който маймуни, които пишат на пишеща машина на случаен принцип, в крайна сметка ще създадат всички произведения на Шекспир.

Така че, макар на пръв поглед да изглежда странно, че семплите и симетрични кръгове се описват от такова хаотично число като π, това всъщност не би трябвало да е изненадващо. Много е вероятно е π да е нормално число, а намирането на нормални числа в природата е толкова естествено, колкото и намирането на игла в купа сено.