Математическата поезия на Вселената: трите уравнения, които промениха представата ни за света

Разкази, които показват как математиката формира възприятието ни за пространство и време.

Математиката е език, написан с помощта на уравнения, малки предложения от букви и цифри, които изцяло управляват нашето разбиране за Вселената.

Уравненията могат да изглеждат плашещи, но всъщност уравнението е просто твърдение, един вид математически начин да се каже „Тези две неща са равни едно на друго„. Всяко от тях има своя собствена история – осъзнаване, реакция и последствия, които буквално променят света.

Ето историите на три уравнения, които може би малко хора са чували.

Теоремата на Питагор: a² + b² = c²

Питагоровата теорема, определяща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник, вероятно е първата „истинска“ теорема, която мнозина от нас са научили. И това е справедливо, защото тя е и една от най-ранните известни официални теореми, която се появява в Пропозиция 47 на Книга I от „Началата“ на Евклид – най-старият запазен и непрекъснато използван учебник по математика в света.

Когато говорим за древността на Питагоровата теорема, наистина имаме предвид изумителна времева дълбочина. Тази математическа истина е била известна около 1500 години преди Евклид да я включи в прочутите си „Начала“, което означава, че тя предшества самия Питагор с цяло хилядолетие.

Археологическите разкопки в древните градове на Вавилон, в сегашен Ирак, ни донесоха хиляди глинени плочки, разкриващи удивителните математически познания на древните. Ярък пример за това е кадастралният план Si.427, датиращ отпреди около 3700 години. Този артефакт, който е едно от най-старите свидетелства за приложна геометрия, съдържа набори от питагорови триъгълници – групи от три числа, които отговарят на Питагоровата теорема и образуват страните на правоъгълен триъгълник.

Друг впечатляващ пример е плочката Плимптон 322 , също създадена в Древен Вавилон. Тя представлява каталог на Питагоровите тройки, използвани при земеустройството. Въпреки очевидното практическо приложение на тези знания от вавилонците, гръцките математици трябвало да превърнат тези емпирични наблюдения в строга математическа теорема с официално доказателство.

В контекста на развитието на висшата математика гърците предпочитат да оперират с абстрактни понятия за линии и площи, а не с конкретни числа. Така Питагор и неговите последователи формулират теоремата като равенство на площите:

„Площта на квадрата, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху другите две страни“.

Кога тази сложна геометрична задача се е превърнала в елегантното уравнение, което познаваме и обичаме? Тук Питагоровата теорема наистина блести: тя символизира прекратяването на метода на пробите и грешките и началото на дедуктивната математика и представлява мост между двете основни области на математиката: геометрията и алгебрата.

Питагоровата теорема е от съществено значение за изобретяването на аналитичната геометрия, тъй като позволява на математиците да представят окръжността като алгебрично уравнение. Тя води директно до развитието на тригонометрията и, тъй като математиката се разширява извън Евклидовото пространство, вдъхновява друга важна теория: теорията на относителността.

Уравнението на Питагор се появява за първи път преди около 3500 години за измерване на земята на фермер. Разширяването му върху триъгълници без прави ъгли и триъгълници върху сфера ни позволи да картографираме континентите и да измерваме нашата планета. А забележителната му обобщена версия ни позволява да измерим формата на Вселената.

Тъждеството на Ойлер: e^{i π} + 1 = 0

Известно като „най-красивото уравнение в математиката“, уравнението на Ойлер елегантно съчетава пет основни математически константи: нула, единица, имагинерната единица i и двете най-известни трансцендентни числа π и e. Това е уравнение, което съчетава основните аритметични операции събиране, умножение и степен. Това уравнение, което съчетава основните аритметични операции събиране, умножение и повдигане на степен, има потенциала да предизвика възторга на математиците.

„То е като Шекспиров сонет, разкриващ самата същност на любовта, или картина, изобразяваща красотата на човешката форма, която е много по-дълбока от обикновената външност“, пише професорът по математика от Станфордския университет Кийт Девлин в списание Wabash през 2002 г. „Уравнението на Ойлер достига до самите дълбини на битието“.

Въпреки че това описание може да изглежда като преувеличение, изследванията с помощта на неврални визуализации, че реакцията на мозъците на математиците към уравнението на Ойлер е подобна на тази, с която повечето хора реагират на изключителни произведения на изкуството или музиката.

„На пръв поглед то изглежда просто, но има невероятна дълбочина“, отбелязва математикът Дейвид Пърси в интервю за Би Би Си през 2014 г. „Значението ѝ може да не е очевидно в началото, но когато осъзнаете пълния ѝ потенциал, тя става наистина невероятна“.

И така, как са свързани тези математически константи и кой е разкрил връзката? Всъщност това уравнение е специален случай на по-общ математически принцип, известен като формулата на Ойлер. Тази формула има практическо приложение: тя „описва два равностойни начина за движение по окръжност„, както обяснява Калид Азад в статия за своя блог Better Explained.

Можем да я разберем, като използваме поредица от аналогии. Започвайки с числото 1, разглеждайте умножението като трансформация, която променя това число: 1∙e^{i π}.

Числото e в основата на експонентата и показва експоненциален растеж, но каква е ролята на имагинерната единица i? Азад обяснява:

„Докато обикновеният експоненциален растеж непрекъснато увеличава 1 с определена скорост за даден период от време, въображаемият експоненциален растеж завърта 1 в кръг с постоянна ъглова скорост“.

Именно това завъртане създава връзката между експоненциалните, тригонометричните функции и комплексните числа, която прави формулата на Ойлер толкова фундаментална и елегантна.

Базовото число e означава, че имаме работа с експоненциален растеж, но какво да кажем за въображаемата единица i? Както обяснява Азад, „докато обикновеният експоненциален растеж непрекъснато увеличава 1 с някаква скорост за определен период от време, въображаемият експоненциален растеж непрекъснато върти 1 за същия период от време„.

В този контекст π е интервал от време, който е достатъчно дълъг, за да се завърти половин кръг около точка, разположена в началото. С други думи, вие се оказвате в точка -1 на числовата ос.

Ако това понятие ви звучи познато, то има основателна причина – то има много общо с това, което бе разгледано в контекста на Питагоровата теорема. Въпреки това има важна концептуална разлика: синусът и косинусът описват движението от гледна точка на декартовата координатна система, представяйки хоризонтални и вертикални положения, докато формулата на Ойлер използва полярни координати, определяйки положението на точката чрез ъгъл и разстояние от началото.

Разбира се, дори и всички тези математически тънкости да не са напълно разбираеми, човек може просто да се възхити на елегантността и красотата на това уравнение.

„То наистина е истинска класика на математиката“, подчертава Пърси. „Трудно е да си представим нещо по-съвършено в света на математическите формули“.

Специалната теорема на Айнщайн: E = mc²

Говорейки за класика – малко уравнения звучат толкова елегантно, колкото E = mc². Тази формула е наистина емблематична: кратка и невероятно дълбока. Вероятно обаче тя не означава точно това, което много хора си мислят, че означава, и подобно на уравнението на Ойлер първоначално е била формулирана по по-различен начин, отколкото я познаваме днес.

Когато Айнщайн за първи път е извел физичната концепция, която тя представлява, той не я е записал във вида, в който сме свикнали. Може би това е типично за човешката култура: най-известното ни уравнение не е и не е било това, което изглежда, както и теорията, която го е породила.

Повечето от нас осъзнават значението на това уравнение: то описва еквивалентността на енергията и масата. Малцина обаче осъзнават, че то е непълно – и въпреки че често го наричаме „теория на относителността“, всъщност то е само едно от двете уравнения, които носят това име.

„Относителността“ обхваща две различни, но свързани теории: специалната и общата теория на относителността. Специалната теория на относителността разглежда пространството, времето и материята в отсъствието на гравитация; общата теория на относителността взема предвид гравитацията.

E = mc² описва специалната теория на относителността – Айнщайн е първият, който я разработва. Нарича се специална, защото се прилага само за отправни рамки, които се движат равномерно една спрямо друга. Сред последствията от нея е свиването на Лоренц-Фицджералд, което сега се тълкува като присъща характеристика на пространствено-времевия континуум.

Благодарение на специалната теория на относителността знаем какво се случва при скорости, близки до скоростта на светлината: времето се забавя, масите се увеличават, а дължините се скъсяват. Тя установи скоростта на светлината като универсална горна граница – теоретичната точка, в която времето спира, масата става безкрайна, а размерите – нулеви. И, което е по-притеснително, тя ни позволи да разберем принципа на атомната бомба.

Не е изненадващо, че когато теорията започва да придобива популярност, тя предизвиква спорове, и то не само сред критици като Филип Ленард и Йохан Щарк, чието основно оплакване за откритието е еврейският произход на Айнщайн.

Това „дълбоко шокира учените и широката общественост“, пише историкът на науката и автор Химена Каналес в статия за Nautilus от 2016 г. Нейните поддръжници твърдяха, че някои от най-основните, здравомислещи понятия – като „какво означава „едновременност“?“ или „времето и пространството са различни неща“ – се нуждаят от преразглеждане.

Но въпреки това Айнщайн остава недоволен от своето уравнение. То представлява единна теория за пространството, времето, материята и електромагнетизма, но пропуска един важен елемент – гравитацията. И да, какво става, ако частицата не е в покой или ако няма никаква маса? В тези случаи E = mc² е само половината от смисъла на уравнението. Другата половина е много по-интересна и е необходима, за да се разбере физическият смисъл на случващото се.

Отнело му е още десет години, за да реши този проблем, а крайният резултат – наборът от десет тензорни уравнения, свързващи сложни величини като формата на пространство-времето, кривината и връзката между енергията и импулса – със сигурност не е толкова кратък, колкото познатото ни E = mc². Но последиците от него са огромни: то пренаписа законите на гравитацията; обясни явления, които преди това изглеждаха необясними; и дори предсказа съществуването на черни дупки.

И кое всъщност е най-изненадващото нещо във всичко това? Всичко това води началото си от Питагоровата теорема. Много хора си задават въпроса докъде все пак можем да стигнем през следващите години? Дали ще има нови уравнения, които тотално променят представата ни за света или ще станем жертва на Великия филтър?